Номер 61, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 61, страница 21.

61. Найдите значение выражения:

a) a² - 43a - 6 + 7a - 6 при a = 10,25;

б) 9b - 1b² - 9 - 6b - 10b² - 9 при b = 3,5.

a) $$\begin{gathered} \frac{a^2-43}{a-6}+\frac{7}{a-6}=\frac{a^2-43+7}{a-6}=\frac{a^2-36}{a-6}= \\ =\frac{(a-6)(a+6)}{a-6}=a+6 \end{gathered}$$

при a=10,25; 10,25+6=16,25

б) $\frac{9b-1}{b^2-9}-\frac{6b-10}{b^2-9}=\frac{(9b-1)-(6b-10)}{b^2-9}=$

$$\begin{gathered} =\frac{9b-1-6b+10}{(b-3)(b+3)}=\frac{3b+9}{(b-3)(b+3)}= \\ =\frac{3(b+3)}{(b-3)(b+3)}=\frac{3}{b-3} \end{gathered}$$

при b=3,5; $\frac{3}{3,5-3}=\frac{3}{0,5}=\frac{30}{5}=6$

а)

Сначала упростим данное выражение $\frac{a^2-43}{a-6} + \frac{7}{a-6}$. Так как у обеих дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:

$\frac{a^2-43+7}{a-6} = \frac{a^2-36}{a-6}$

Числитель $a^2-36$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a^2-36 = a^2-6^2 = (a-6)(a+6)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в выражение:

$\frac{(a-6)(a+6)}{a-6}$

Сократим общий множитель $(a-6)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $a=10,25$, и, следовательно, $a-6 \neq 0$):

$a+6$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $a=10,25$:

$10,25 + 6 = 16,25$

Ответ: $16,25$

б)

Упростим выражение $\frac{9b-1}{b^2-9} - \frac{6b-10}{b^2-9}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(9b-1)-(6b-10)}{b^2-9} = \frac{9b-1-6b+10}{b^2-9} = \frac{3b+9}{b^2-9}$

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 3 за скобку. Знаменатель является разностью квадратов:

$3b+9 = 3(b+3)$

$b^2-9 = b^2-3^2 = (b-3)(b+3)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{3(b+3)}{(b-3)(b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$ (это возможно, так как $b=3,5$, и, следовательно, $b+3 \neq 0$ и $b-3 \neq 0$):

$\frac{3}{b-3}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $b=3,5$:

$\frac{3}{3,5-3} = \frac{3}{0,5} = 6$

Ответ: $6$