Номер 63, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 63, страница 21.

63. Выполните действие:

a) xy - 1 + 51 - y;

б) ac - 3 - 73 - c;

в) 2mm - n + 2nn - m;

г) 5p2q - p + 10qp - 2q;

д) a² + 16a - 4 + 8a4 - a;

е) x² + 9y²x - 3y + 6xy3y - x.

a) $\frac{x}{y-1}+\frac{5}{1-y}=\frac{x}{y-1}-\frac{5}{y-1}=\frac{x-5}{y-1}$

б) $\frac{a}{c-3}-\frac{6}{3-c}=\frac{a}{c-3}+\frac{6}{c-3}=\frac{a+6}{c-3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2m}{m-n}+\frac{2n}{n-m}=\frac{2m}{m-n}-\frac{2n}{m-n}= \\ =\frac{2m-2n}{m-n}=\frac{2(m-n)}{m-n}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{5p}{2q-p}+\frac{10q}{p-2q}=\frac{5p}{2q-p}-\frac{10q}{2q-p}= \\ =\frac{5p-10q}{2q-p}=\frac{5(p-2q)}{-(p-2q)}=-5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a^2+16}{a-4}+\frac{8a}{4-a}=\frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}= \\ =\frac{a^2+16-8a}{a-4}=\frac{{(a-4)}^2}{a-4}=a-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{x^2+9y^2}{x-3y}+\frac{6xy}{3y-x}=\frac{x^2+9y^2}{x-3y}-\frac{6xy}{x-3y}= \\ =\frac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y}=\frac{{(x-3y)}^2}{x-3y}=x-3y \end{gathered}$$

а) $\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}$

Чтобы выполнить сложение, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $y-1$ и $1-y$ являются противоположными выражениями, так как $1-y = -(y-1)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{x}{y-1} + \frac{5}{-(y-1)} = \frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1}$

Теперь, когда у дробей общий знаменатель, выполним вычитание числителей:

$\frac{x-5}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-5}{y-1}$

б) $\frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $3-c$ можно представить как $-(c-3)$.

$\frac{a}{c-3} - \frac{6}{-(c-3)} = \frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3}$

Сложим числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a+6}{c-3}$

Ответ: $\frac{a+6}{c-3}$

в) $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m-n$, используя то, что $n-m = -(m-n)$.

$\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{-(m-n)} = \frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2m-2n}{m-n}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(m-n)}{m-n} = 2$

Ответ: $2$

г) $\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2q-p$, используя то, что $p-2q = -(2q-p)$.

$\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{-(2q-p)} = \frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p}$

Выполним вычитание:

$\frac{5p-10q}{2q-p}$

В числителе вынесем за скобки множитель $-5$, чтобы получить выражение, которое можно сократить со знаменателем:

$5p-10q = -5(-p+2q) = -5(2q-p)$

Подставим обратно в дробь и сократим:

$\frac{-5(2q-p)}{2q-p} = -5$

Ответ: $-5$

д) $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a-4$, используя то, что $4-a = -(a-4)$.

$\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{-(a-4)} = \frac{a^2+16}{a-4} - \frac{8a}{a-4}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2+16-8a}{a-4} = \frac{a^2-8a+16}{a-4}$

Числитель является полным квадратом разности $(a-4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2-8a+16$.

$\frac{(a-4)^2}{a-4} = a-4$

Ответ: $a-4$

е) $\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{3y-x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x-3y$, используя то, что $3y-x = -(x-3y)$.

$\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{-(x-3y)} = \frac{x^2+9y^2}{x-3y} - \frac{6xy}{x-3y}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y} = \frac{x^2-6xy+9y^2}{x-3y}$

Числитель является полным квадратом разности $(x-3y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2-6xy+9y^2$.

$\frac{(x-3y)^2}{x-3y} = x-3y$

Ответ: $x-3y$