Номер 69, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 69, страница 22.

69. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:

a) x² + y²x⁴;

б) 2x - yb;

в) a² + 12a;

г) a² - 3aba³.

a) $\frac{x^2+y^2}{x^4}=\frac{x^2}{x^4}+\frac{y^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{x^4}$

б) $\frac{2x-y}{b}=\frac{2x}{b}-\frac{y}{b}$

в) $\frac{a^2+1}{2a}=\frac{a^2}{2a}+\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}$

г) $\frac{a^2-3ab}{a^3}=\frac{a^2}{a^3}-\frac{3ab}{a^3}=\frac{1}{a}-\frac{3b}{a^2}$

а) Чтобы представить дробь в виде суммы или разности дробей, необходимо каждый член числителя разделить на знаменатель. Для дроби $ \frac{x^2+y^2}{x^4} $ это будет выглядеть так:

$ \frac{x^2+y^2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} + \frac{y^2}{x^4} $

Теперь упростим первое слагаемое, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2} $

Второе слагаемое $ \frac{y^2}{x^4} $ упростить нельзя. Таким образом, получаем сумму двух дробей.

Ответ: $ \frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{x^4} $

б) Представим дробь $ \frac{2x-y}{b} $ в виде разности дробей, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{2x-y}{b} = \frac{2x}{b} - \frac{y}{b} $

Полученные дроби не имеют общих множителей в числителе и знаменателе, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $ \frac{2x}{b} - \frac{y}{b} $

в) Для дроби $ \frac{a^2+1}{2a} $ применим тот же метод почленного деления числителя на знаменатель:

$ \frac{a^2+1}{2a} = \frac{a^2}{2a} + \frac{1}{2a} $

Упростим первое слагаемое, сократив его на $a$:

$ \frac{a^2}{2a} = \frac{a \cdot a}{2 \cdot a} = \frac{a}{2} $

Второе слагаемое $ \frac{1}{2a} $ не упрощается. В результате получаем сумму.

Ответ: $ \frac{a}{2} + \frac{1}{2a} $

г) Представим дробь $ \frac{a^2-3ab}{a^3} $ в виде разности, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{a^2-3ab}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} - \frac{3ab}{a^3} $

Упростим каждую из полученных дробей:

Первая дробь: $ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.

Вторая дробь: $ \frac{3ab}{a^3} = \frac{3 \cdot a \cdot b}{a \cdot a^2} = \frac{3b}{a^2} $.

Таким образом, итоговое выражение представляет собой разность.

Ответ: $ \frac{1}{a} - \frac{3b}{a^2} $