Номер 75, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 75, страница 25.

75. Представьте в виде дроби:

a) x2 + y3;

б) c4 - d12;

в) ab - b²a;

г) 32x - 23x;

д) 5x8y + x4y;

е) 17y24c - 25y36c;

ж) 15a - 825a;

з) 3b4c + c2b.

a) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=\frac{3x+2y}{6}$

б) $\frac{c}{4}-\frac{d}{12}=\frac{3c-d}{12}$

в) $\frac{a}{b}-\frac{b^2}{a}=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^3}{ab}=\frac{a^2-b^3}{ab}$

г) $\frac{3}{2c}-\frac{2}{3x}=\frac{9}{6x}-\frac{4}{6x}=\frac{5}{6x}$

д) $\frac{5x}{8y}+\frac{x}{4y}=\frac{5x}{8y}+\frac{2x}{8y}=\frac{7x}{8y}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{17y}{24c}-\frac{25y}{36c}=\frac{17y·3}{24c·3}-\frac{25y·2}{36c·2}= \\ =\frac{51y}{72c}-\frac{50y}{72c}=\frac{y}{72c} \end{gathered}$$

ж) $\frac{1}{5a}-\frac{8}{25a}=\frac{5}{25a}-\frac{8}{25a}=-\frac{3}{25a}$

з) $\frac{3b}{4c}+\frac{c}{2b}=\frac{3b^2}{4cb}+\frac{2c^2}{4bc}=\frac{3b^2+2c^2}{4bc}$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{2}$ и $\frac{y}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{3x + 2y}{6}$

Ответ: $\frac{3x + 2y}{6}$

б) Чтобы вычесть дробь $\frac{d}{12}$ из $\frac{c}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 это 12. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель:

$\frac{c}{4} - \frac{d}{12} = \frac{c \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{d}{12} = \frac{3c}{12} - \frac{d}{12}$

Теперь вычтем числители:

$\frac{3c - d}{12}$

Ответ: $\frac{3c - d}{12}$

в) Для вычитания дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b^2}{a}$ найдем общий знаменатель, который равен произведению их знаменателей, то есть $ab$. Умножим первую дробь на $a$, а вторую на $b$:

$\frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^3}{ab}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{a^2 - b^3}{ab}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^3}{ab}$

г) Общий знаменатель для дробей $\frac{3}{2x}$ и $\frac{2}{3x}$ — это наименьшее общее кратное для $2x$ и $3x$, которое равно $6x$. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2:

$\frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} = \frac{3 \cdot 3}{2x \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{9}{6x} - \frac{4}{6x}$

Вычтем числители:

$\frac{9 - 4}{6x} = \frac{5}{6x}$

Ответ: $\frac{5}{6x}$

д) Для сложения дробей $\frac{5x}{8y}$ и $\frac{x}{4y}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $8y$ и $4y$ равен $8y$. Домножим вторую дробь на 2:

$\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} = \frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y}$

Сложим числители:

$\frac{5x + 2x}{8y} = \frac{7x}{8y}$

Ответ: $\frac{7x}{8y}$

е) Для вычитания дробей $\frac{17y}{24c}$ и $\frac{25y}{36c}$ найдем наименьший общий знаменатель для $24c$ и $36c$. НОК(24, 36) = 72. Значит, общий знаменатель равен $72c$. Дополнительный множитель для первой дроби $72c/24c = 3$, для второй $72c/36c = 2$:

$\frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} = \frac{17y \cdot 3}{24c \cdot 3} - \frac{25y \cdot 2}{36c \cdot 2} = \frac{51y}{72c} - \frac{50y}{72c}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{51y - 50y}{72c} = \frac{y}{72c}$

Ответ: $\frac{y}{72c}$

ж) Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{5a}$ и $\frac{8}{25a}$ это $25a$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:

$\frac{1}{5a} - \frac{8}{25a} = \frac{1 \cdot 5}{5a \cdot 5} - \frac{8}{25a} = \frac{5}{25a} - \frac{8}{25a}$

Вычтем числители:

$\frac{5 - 8}{25a} = \frac{-3}{25a} = -\frac{3}{25a}$

Ответ: $-\frac{3}{25a}$

з) Для сложения дробей $\frac{3b}{4c}$ и $\frac{c}{2b}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $4c$ и $2b$ это $4bc$. Дополнительный множитель для первой дроби $4bc/4c = b$, для второй $4bc/2b = 2c$:

$\frac{3b}{4c} + \frac{c}{2b} = \frac{3b \cdot b}{4c \cdot b} + \frac{c \cdot 2c}{2b \cdot 2c} = \frac{3b^2}{4bc} + \frac{2c^2}{4bc}$

Сложим числители:

$\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$

Ответ: $\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$