Номер 81, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 81, страница 25.

81. Выполните вычитание дробей:

a) x - yxy - x- zxz;

б) a - 2b3b - b - 2a3a;

в) p - qp³q² - p + qp²q³;

г) 3m - n3m²n - 2n - m2mn².

a) $\frac{x-y}{xy}-\frac{x-z}{xz}=\frac{z(x-y)}{xyz}-\frac{y(x-z)}{xyz}=$
$$\begin{gathered} =\frac{xz-7y-xy+yz}{xyz}=\frac{(xz-xy)+(yz-zy)}{xyz}= \\ =\frac{x(z-y)}{xyz}=\frac{z-y}{yz} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a-2b}{3b}-\frac{b-2a}{3a}=\frac{a(a-2b)}{3ab}-\frac{b(b-2a)}{3ab}= \\ =\frac{a^2-2ab-b^2+2ab}{3ab}=\frac{a^2-b^2}{3ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{p-q}{p^3{q}^2}-\frac{p+q}{p^2{q}^3}=\frac{q(p-q)}{p^3{q}^3}-\frac{p(p+q)}{p^3{q}^3}= \\ =\frac{pq-q^2-p^2-pq}{p^3{q}^3}=\frac{-p^2-q^2}{p^3{q}^3}=-\frac{p^2+q^2}{p^3{q}^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3m-n}{3m^{2}n}-\frac{2n-m}{2m{n}^2}= \\ =\frac{2n(3m-n)}{6m^2{n}^2}-\frac{3m(2n-m)}{6m^2{n}^2}= \\ =\frac{6mn-2n^2-6mn+3m^2}{6m^2{n}^2}=\frac{3m^2-2n^2}{6m^2{n}^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $xy$ и $xz$. НОЗ равен $xyz$.
2. Определяем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель $z$, так как $\frac{xyz}{xy} = z$. Для второй дроби — $y$, так как $\frac{xyz}{xz} = y$.
3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и выполняем вычитание:
$\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz} = \frac{z(x-y)}{xyz} - \frac{y(x-z)}{xyz} = \frac{z(x-y) - y(x-z)}{xyz}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{xz - yz - (xy - yz)}{xyz} = \frac{xz - yz - xy + yz}{xyz}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{xz - xy}{xyz}$
6. Выносим общий множитель $x$ за скобки в числителе и сокращаем дробь:
$\frac{x(z-y)}{xyz} = \frac{z-y}{yz}$
Ответ: $\frac{z-y}{yz}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a-2b}{3b} - \frac{b-2a}{3a}$, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для знаменателей $3b$ и $3a$ равен $9ab$.
2. Дополнительный множитель для первой дроби — $3a$, для второй — $3b$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:
$\frac{3a(a-2b)}{9ab} - \frac{3b(b-2a)}{9ab} = \frac{3a(a-2b) - 3b(b-2a)}{9ab}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{3a^2 - 6ab - (3b^2 - 6ab)}{9ab} = \frac{3a^2 - 6ab - 3b^2 + 6ab}{9ab}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3a^2 - 3b^2}{9ab}$
6. Выносим общий множитель 3 в числителе и сокращаем дробь:
$\frac{3(a^2 - b^2)}{9ab} = \frac{a^2 - b^2}{3ab}$
Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{3ab}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p-q}{p^3q^2} - \frac{p+q}{p^2q^3}$, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для знаменателей $p^3q^2$ и $p^2q^3$ равен $p^3q^3$ (выбираем переменные в наибольшей степени).
2. Дополнительный множитель для первой дроби — $q$, для второй — $p$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:
$\frac{q(p-q)}{p^3q^3} - \frac{p(p+q)}{p^3q^3} = \frac{q(p-q) - p(p+q)}{p^3q^3}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{pq - q^2 - (p^2 + pq)}{p^3q^3} = \frac{pq - q^2 - p^2 - pq}{p^3q^3}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{-q^2 - p^2}{p^3q^3} = \frac{-(p^2+q^2)}{p^3q^3}$
Ответ: $-\frac{p^2+q^2}{p^3q^3}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3m-n}{3m^2n} - \frac{2n-m}{2mn^2}$, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для знаменателей $3m^2n$ и $2mn^2$ равен $6m^2n^2$ (НОК для коэффициентов 2 и 3 равен 6, для переменных выбираем наибольшие степени).
2. Дополнительный множитель для первой дроби — $2n$, для второй — $3m$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:
$\frac{2n(3m-n)}{6m^2n^2} - \frac{3m(2n-m)}{6m^2n^2} = \frac{2n(3m-n) - 3m(2n-m)}{6m^2n^2}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{6mn - 2n^2 - (6mn - 3m^2)}{6m^2n^2} = \frac{6mn - 2n^2 - 6mn + 3m^2}{6m^2n^2}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$