Номер 80, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 80, страница 25.

80. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 1ab + 1ac + 1bc;

б) ab - ba - ab - ab - a² - b²ab;

в) b - aab + c - bbc - c - aac;

г) 3ab + 2b²ab - a + 2ba + a - 2bb;

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{c}{abc}+\frac{b}{abc}+\frac{a}{abc}=\frac{a+b+c}{abc}$

б) $\frac{ab-b}{a}-\frac{ab-a}{b}-\frac{a^2-b^2}{ab}=$
$$\begin{gathered} =\frac{b(ab-b)}{ab}-\frac{a(ab-a)}{ab}- \\ -\frac{a^2-b^2}{ab}=\frac{a{b}^2-b^2-a^{2}b+a^2-a^2+b^2}{ab}= \\ =\frac{a{b}^2-a^{2}b}{ab}=\frac{ab(b-a)}{ab}=b-a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{b-a}{ab}+\frac{c-b}{bc}-\frac{c-a}{ac}= \\ =\frac{c(b-a)+a(c-b)-b(c-a)}{abc}= \\ =\frac{bc-ac+ac-ab-bc+ab}{abc}=\frac{0}{abc}=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3ab+2b^2}{ab}-\frac{a+2b}{a}+\frac{a-2b}{b}= \\ =\frac{3ab+2b^2}{ab}-\frac{b(a+2b)}{ab}+\frac{a(a-2b)}{ab}= \\ =\frac{3ab+2b^2-ab-2b^2+a^2-2ab}{ab}=\frac{a^2}{ab}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

а)

Чтобы преобразовать выражение $ \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} $ в дробь, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $ab$, $ac$ и $bc$ является $abc$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для $ \frac{1}{ab} $ дополнительный множитель – $c$.
• Для $ \frac{1}{ac} $ дополнительный множитель – $b$.
• Для $ \frac{1}{bc} $ дополнительный множитель – $a$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель и сложим их:

$ \frac{1 \cdot c}{abc} + \frac{1 \cdot b}{abc} + \frac{1 \cdot a}{abc} = \frac{c+b+a}{abc} $

Для стандартного вида упорядочим слагаемые в числителе по алфавиту:

$ \frac{a+b+c}{abc} $

Ответ: $ \frac{a+b+c}{abc} $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{ab-b}{a} - \frac{ab-a}{b} - \frac{a^2-b^2}{ab} $. Общим знаменателем для дробей является $ab$.

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$ \frac{(ab-b) \cdot b}{ab} - \frac{(ab-a) \cdot a}{ab} - \frac{a^2-b^2}{ab} $

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{b(ab-b) - a(ab-a) - (a^2-b^2)}{ab} = \frac{ab^2 - b^2 - (a^2b - a^2) - (a^2-b^2)}{ab} = \frac{ab^2 - b^2 - a^2b + a^2 - a^2 + b^2}{ab} $

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$ ab^2 - a^2b + (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) = ab^2 - a^2b $

Выражение принимает вид:

$ \frac{ab^2 - a^2b}{ab} $

Вынесем общий множитель $ab$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$ \frac{ab(b-a)}{ab} = b-a $

Ответ: $ b-a $

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{b-a}{ab} + \frac{c-b}{bc} - \frac{c-a}{ac} $. Общий знаменатель для дробей — $abc$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(b-a) \cdot c}{abc} + \frac{(c-b) \cdot a}{abc} - \frac{(c-a) \cdot b}{abc} $

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{c(b-a) + a(c-b) - b(c-a)}{abc} = \frac{bc - ac + ac - ab - (bc - ab)}{abc} = \frac{bc - ac + ac - ab - bc + ab}{abc} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (bc-bc) + (-ac+ac) + (-ab+ab) = 0 + 0 + 0 = 0 $

Таким образом, выражение равно:

$ \frac{0}{abc} = 0 $

Ответ: $ 0 $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{a+2b}{a} + \frac{a-2b}{b} $. Общим знаменателем является $ab$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{(a+2b) \cdot b}{ab} + \frac{(a-2b) \cdot a}{ab} $

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(3ab+2b^2) - b(a+2b) + a(a-2b)}{ab} = \frac{3ab+2b^2 - (ab+2b^2) + (a^2-2ab)}{ab} = \frac{3ab+2b^2 - ab - 2b^2 + a^2 - 2ab}{ab} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ a^2 + (3ab - ab - 2ab) + (2b^2 - 2b^2) = a^2 + 0 \cdot ab + 0 = a^2 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^2}{ab} $

Сократим дробь на $a$:

$ \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $