Номер 85, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 85, страница 26.

85. Представьте выражение в виде дроби:

a) x - x - y2 + x + y4;

б) 3x - 2 - 5x;

в) 3 - 2x - y4 + x + 4y12;

г) 6a - 4b5 - b + 7a3 - 2.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x-\frac{x-y}{2}+\frac{x+y}{4}=\frac{4x-2(x-y)+(x+y)}{4}= \\ =\frac{4x-2x+2y+x+y}{4}=\frac{3x+3y}{4} \end{gathered}$$

б) $\frac{3}{x}-2-\frac{5}{x}=\frac{3-2x-5}{x}=\frac{-2x-2}{x}=-\frac{2x+2}{x}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3-\frac{2x-y}{4}+\frac{x+4y}{12}= \\ =\frac{12·3-3(2x-y)+(x+4y)}{12}= \\ =\frac{36-6x+3y+x+4y}{12}=\frac{7y-5x+36}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{6a-4b}{5}-\frac{b+7a}{3}-2= \\ =\frac{3(6a-4b)-5(b+7a)-2·15}{15}= \\ =\frac{18a-12b-5b-35a-30}{15}= \\ =\frac{-17a-17b-30}{15}=-\frac{17a+17b+30}{15} \end{gathered}$$

а) $x - \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{4}$

Чтобы представить это выражение в виде одной дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 2 и 4 это 4.

Приведем каждый член выражения к знаменателю 4:

$x = \frac{x}{1} = \frac{x \cdot 4}{4} = \frac{4x}{4}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(x-y) \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2(x-y)}{4} = \frac{2x-2y}{4}$

Теперь можно сложить и вычесть дроби:

$ \frac{4x}{4} - \frac{2x-2y}{4} + \frac{x+y}{4} = \frac{4x - (2x-2y) + (x+y)}{4}$

Раскрываем скобки в числителе. Важно правильно учесть знак минус перед второй дробью:

$\frac{4x - 2x + 2y + x + y}{4}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x - 2x + x) + (2y + y)}{4} = \frac{3x+3y}{4}$

Ответ: $\frac{3x+3y}{4}$

б) $\frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x}$

Для приведения этого выражения к виду одной дроби, найдем общий знаменатель. В данном случае это $x$.

Приведем член $-2$ к знаменателю $x$:

$-2 = -\frac{2}{1} = -\frac{2x}{x}$

Теперь объединим все члены под общим знаменателем:

$\frac{3}{x} - \frac{2x}{x} - \frac{5}{x} = \frac{3 - 2x - 5}{x}$

Приведем подобные слагаемые в числителе (вычтем 5 из 3):

$\frac{-2 - 2x}{x}$

Ответ: $\frac{-2-2x}{x}$

в) $3 - \frac{2x-y}{4} + \frac{x+4y}{12}$

Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 4 и 12 это 12.

Приведем каждый член выражения к знаменателю 12:

$3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 12}{12} = \frac{36}{12}$

$\frac{2x-y}{4} = \frac{(2x-y) \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{6x-3y}{12}$

Теперь выполним операции с дробями:

$\frac{36}{12} - \frac{6x-3y}{12} + \frac{x+4y}{12} = \frac{36 - (6x-3y) + (x+4y)}{12}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36 - 6x + 3y + x + 4y}{12}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{36 + (-6x+x) + (3y+4y)}{12} = \frac{36 - 5x + 7y}{12}$

Ответ: $\frac{36-5x+7y}{12}$

г) $\frac{6a-4b}{5} - \frac{b+7a}{3} - 2$

Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 3 и 1 это 15.

Приведем каждый член выражения к знаменателю 15:

$\frac{6a-4b}{5} = \frac{(6a-4b) \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18a-12b}{15}$

$\frac{b+7a}{3} = \frac{(b+7a) \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5b+35a}{15}$

$2 = \frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 15}{15} = \frac{30}{15}$

Теперь объединим дроби:

$\frac{18a-12b}{15} - \frac{5b+35a}{15} - \frac{30}{15} = \frac{(18a-12b) - (5b+35a) - 30}{15}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18a - 12b - 5b - 35a - 30}{15}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(18a-35a) + (-12b-5b) - 30}{15} = \frac{-17a - 17b - 30}{15}$

Ответ: $\frac{-17a-17b-30}{15}$