Номер 90, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 90, страница 27.

90. Выполните действие:

a) a²ax - x² + xx - a;

б) b² - 4by2y² - by - 4yb - 2y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2}{ax-x^2}+\frac{x}{x-a}=\frac{a^2}{x(a-x)}-\frac{x}{a-x}= \\ =\frac{a^2-x^2}{x(a-x)}=\frac{(a-x)(a+x)}{x(a-x)}=\frac{a+x}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b^2-4by}{2y^2-4by}-\frac{4y}{b-2y}=\frac{b(b-4y)}{y(2y-b)}+ \\ +\frac{4y}{2y-b}=\frac{b^2-4by+4y^2}{y(2y-b)}= \\ =\frac{{(b-2y)}^2}{y(2y-b)}=\frac{{(2y-b)}^2}{y(2y-b)}=\frac{2y-b}{y} \end{gathered}$$

а) $\frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a}$

Для выполнения сложения приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

$ax - x^2 = x(a - x)$

Исходное выражение можно переписать так:

$\frac{a^2}{x(a - x)} + \frac{x}{x - a}$

Заметим, что знаменатель второй дроби, $x - a$, отличается от множителя $a - x$ в знаменателе первой дроби только знаком: $x - a = -(a - x)$.

Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби, поменяв знак перед дробью:

$\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x}$

Теперь общий знаменатель равен $x(a - x)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x \cdot x}{x(a - x)} = \frac{a^2 - x^2}{x(a - x)}$

Числитель $a^2 - x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$\frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)}$

Сократим общий множитель $(a - x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a - x \neq 0$):

$\frac{a + x}{x}$

Ответ: $\frac{a + x}{x}$

б) $\frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

$b^2 - 4by = b(b - 4y)$

$2y^2 - by = y(2y - b)$

Выражение примет вид:

$\frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} - \frac{4y}{b - 2y}$

Знаменатель второй дроби $b - 2y$ равен $-(2y - b)$. Вынесем минус из знаменателя, поменяв знак перед дробью:

$\frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} - \frac{4y}{-(2y - b)} = \frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} + \frac{4y}{2y - b}$

Общий знаменатель дробей — $y(2y - b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $y$:

$\frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} + \frac{4y \cdot y}{y(2y - b)} = \frac{b(b - 4y) + 4y^2}{y(2y - b)}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$b^2 - 4by + 4y^2$

Полученное выражение в числителе является полным квадратом разности: $(b)^2 - 2 \cdot b \cdot (2y) + (2y)^2 = (b - 2y)^2$.

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{(b - 2y)^2}{y(2y - b)}$

Так как $(b - 2y) = -(2y - b)$, то $(b - 2y)^2 = (-(2y - b))^2 = (2y - b)^2$. Сделаем замену в числителе для удобства сокращения:

$\frac{(2y - b)^2}{y(2y - b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2y - b)$ (при условии, что $2y - b \neq 0$):

$\frac{2y - b}{y}$

Ответ: $\frac{2y - b}{y}$