Номер 94, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 94, страница 27.

94. Выполните действие:

a) cb - c + b² - 3bcb² - c²;

б) a + 3a² - 1 - 1a² + a.

a) $\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}=\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{c(b+c)+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}=\frac{bc+c^2+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}= \\ =\frac{b^2-2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{{(b-c)}^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{b-c}{b+c} \end{gathered}$$

б) $\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}=\frac{a+3}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(a+3)-(a-1)}{a(a-1)(a+1)}=\frac{a^2+3a-a+1}{a(a-1)(a+1)}= \\ =\frac{a^2+2a+1}{a(a-1)(a+1)}==\frac{{(a+1)}^2}{a(a-1)(a+1)}= \\ =\frac{a+1}{a(a-1)}=\frac{a+1}{a^2-a} \end{gathered}$$

а) $ \frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$ b^2 - c^2 = (b-c)(b+c) $

Общим знаменателем будет выражение $(b-c)(b+c)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(b+c)$.

$ \frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} $

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений.

$ \frac{c(b+c) + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе.

$ \frac{b^2 - 2bc + c^2}{(b-c)(b+c)} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Свернем его по этой формуле.

$ \frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)} $

Сократим дробь на общий множитель $(b-c)$.

$ \frac{b-c}{b+c} $

Ответ: $ \frac{b-c}{b+c} $

б) $ \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} $

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Разложим каждый знаменатель на множители.

Знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $.

Знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки: $ a^2 + a = a(a+1) $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ a(a-1)(a+1) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$, а второй дроби — на $(a-1)$.

$ \frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1(a-1)}{a(a-1)(a+1)} $

Выполним вычитание числителей.

$ \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a-1)(a+1)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе.

$ \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a+1)} $

Числитель является полным квадратом суммы $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Свернем его.

$ \frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$.

$ \frac{a+1}{a(a-1)} $

Ответ: $ \frac{a+1}{a(a-1)} $