Номер 101, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 101, страница 28.

101. Докажите, что тождественно равны выражения:

a) 3a² - 3a + a²a - 3 и a + 3 + 9a + 3a² - 3a ;

б) a³a² - 4 - aa - 2 - 2a + 2 и a-1.

a) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}=a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$
$$\begin{gathered} \frac{3}{a(a-3)}+\frac{a^2}{a-3}=a+3+\frac{3(3a+1)}{a(a-3)} \\ \frac{3+a^3}{a(a-3)}=\frac{a(a+3)(a-3)+9a+3}{a(a-3)} \\ \frac{3+a^3}{a(a-3)}=\frac{a(a^2-9)+9a+3}{a(a-3)} \\ \frac{3+a^3}{a(a-3)}=\frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)} \\ \frac{a^3+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)} \end{gathered}$$

б) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}=a-1$
$$\begin{gathered} \frac{a^3}{(a-2)(a+2)}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}= \\ =\frac{a^3-a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^3-a^2-2a-2a+4}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^3-a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a^3-a^2)-(4a-4)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^2(a-1)-4(a-1)}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a-1)(a^2-4)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{(a-1)(a-2)(a+2)}{(a-2)(a+2)}=a-1 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что выражения $\frac{3}{a^2-3a} + \frac{a^2}{a-3}$ и $a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$ тождественно равны, преобразуем каждое из них. Область допустимых значений для обоих выражений: $a^2-3a \neq 0$, то есть $a(a-3) \neq 0$, откуда $a \neq 0$ и $a \neq 3$.

1. Преобразуем первое выражение:
$\frac{3}{a^2-3a} + \frac{a^2}{a-3}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2-3a = a(a-3)$.
Общий знаменатель для дробей — это $a(a-3)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю:
$\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2 \cdot a}{(a-3) \cdot a} = \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^3}{a(a-3)}$
Сложим дроби:
$\frac{3+a^3}{a(a-3)}$

2. Преобразуем второе выражение:
$a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$
Приведем слагаемые $a+3$ к знаменателю $a^2-3a = a(a-3)$:
$\frac{(a+3)(a^2-3a)}{a^2-3a} + \frac{9a+3}{a^2-3a}$
Раскроем скобки в числителе первой дроби: $(a+3)(a^2-3a) = a^3 - 3a^2 + 3a^2 - 9a = a^3 - 9a$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{a^3-9a + 9a+3}{a^2-3a} = \frac{a^3+3}{a^2-3a} = \frac{a^3+3}{a(a-3)}$

Поскольку оба выражения приводятся к одному и тому же виду $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$, они тождественно равны на всей области допустимых значений.
Ответ: Выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что выражения $\frac{a^3}{a^2-4} - \frac{a}{a-2} - \frac{2}{a+2}$ и $a-1$ тождественно равны, упростим первое выражение. Область допустимых значений: $a^2-4 \neq 0$, то есть $(a-2)(a+2) \neq 0$, откуда $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

1. Преобразуем первое выражение:
$\frac{a^3}{a^2-4} - \frac{a}{a-2} - \frac{2}{a+2}$
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$. Это будет общий знаменатель.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Выполним вычитание дробей, записав все под общим знаменателем:
$\frac{a^3 - a(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^3 - a^2 - 4a + 4}{a^2-4}$
Разложим числитель на множители методом группировки:
$a^3 - a^2 - 4a + 4 = a^2(a-1) - 4(a-1) = (a^2-4)(a-1)$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a^2-4)(a-1)}{a^2-4}$
Сократим дробь на $(a^2-4)$:
$a-1$

Первое выражение после упрощения стало равно $a-1$, что совпадает со вторым выражением. Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: Выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.