Номер 102, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 102, страница 28.

102. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:

a) x³ + 3xx + 2 - 3x² - 14x + 16x² - 4+ 2x является положительным числом;

б) y +2y² + 3y + 1y² - 1 - y³ + 2yy - 1 является отрицательным числом.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.

3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

a)$\frac{x^3+3x}{x+2}-\frac{3x^2-14x+16}{x^2-4}+2x=\frac{x^3+3x}{x+2}-$
$$\begin{gathered} -\frac{3x^2-14x+16}{(x-2)(x+2)}+2x= \\ =\frac{(x^3+3x)(x-2)-(3x^2-14x+16)+2x(x^2-4)}{(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{x^4-{\bcancel{2x}}^3+{\bcancel{3x}}^2-\bcancel{6x}-{\bcancel{3x}}^2+\bcancel{14x}-16+{\bcancel{2x}}^3-\bcancel{8x}}{(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{x^4-16}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2-4}=x^2+4>0 \end{gathered}$$

б) $y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}=$
$$\begin{gathered} =y+\frac{2y^2+3y+1}{(y-1)(y+1)}-\frac{y^3+2y}{y-1}= \\ =\frac{y(y^2-1)+2y^2+3y+1-(y^3+2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}= \\ =\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-(y^4+y^3+2y^2+2y)}{(y-1)(y+1)}= \\ =\frac{{\bcancel{y}}^3+{\bcancel{2y}}^2+\bcancel{2y}+1-y^4-{\bcancel{y}}^3-{\bcancel{2y}}^2-\bcancel{2y}}{(y-1)(y+1)}= \\ =\frac{1-y^4}{y^2-1}=\frac{(1-y^2)(1+y^2)}{y^2-1}= \\ =\frac{-(y^2-1)(y^2+1)}{y^2-1}=-(y^2+1)<0 \end{gathered}$$

а) Докажем, что выражение $\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x$ является положительным числом при любых допустимых значениях переменной $x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $x$, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, кроме $2$ и $-2$.

Теперь упростим данное выражение. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:

$\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x = \frac{(x^3 + 3x)(x - 2)}{ (x + 2)(x - 2)} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + \frac{2x(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

$= \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x - (3x^2 - 14x + 16) + 2x^3 - 8x}{x^2 - 4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x - 3x^2 + 14x - 16 + 2x^3 - 8x}{x^2 - 4} = \frac{x^4 + (-2x^3 + 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (-6x + 14x - 8x) - 16}{x^2 - 4}$

$= \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$\frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4} = x^2 + 4$

Сокращение возможно, так как мы рассматриваем допустимые значения $x$, при которых $x^2 - 4 \neq 0$.

Получили выражение $x^2 + 4$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то $x^2 + 4 \ge 0+4$, то есть $x^2 + 4 \ge 4$. Следовательно, выражение $x^2 + 4$ всегда принимает положительные значения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $x^2+4$, что всегда больше нуля, так как $x^2 \ge 0$.

б) Докажем, что выражение $y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1}$ является отрицательным числом при любых допустимых значениях переменной $y$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$y^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (y-1)(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$ и $y \neq -1$.

$y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $y$ — любое действительное число, кроме $1$ и $-1$.

Приведем выражение к общему знаменателю $y^2 - 1 = (y-1)(y+1)$:

$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} = \frac{y(y^2-1)}{y^2-1} + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{(y^3 + 2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}$

$= \frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - (y^4 + y^3 + 2y^2 + 2y)}{y^2 - 1}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{y^3 + 2y^2 + 2y + 1 - y^4 - y^3 - 2y^2 - 2y}{y^2 - 1} = \frac{-y^4 + (y^3 - y^3) + (2y^2 - 2y^2) + (2y - 2y) + 1}{y^2 - 1}$

$= \frac{-y^4 + 1}{y^2 - 1} = \frac{-(y^4 - 1)}{y^2 - 1}$

Разложим выражение $y^4 - 1$ в числителе на множители:

$y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$

Подставим и сократим дробь:

$\frac{-(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} = -(y^2 + 1)$

Сокращение возможно, так как для допустимых значений $y$ выполнено условие $y^2 - 1 \neq 0$.

Получили выражение $-(y^2 + 1)$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, то $y^2 + 1 \ge 1$, то есть $y^2+1$ всегда является положительным числом. Соответственно, выражение $-(y^2 + 1)$ всегда будет отрицательным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $-(y^2+1)$, что всегда меньше нуля, так как $y^2+1 > 0$.

1) Задания а) и б) представляют собой задачи на доказательство с помощью тождественных преобразований алгебраических дробей. Выполнение этих заданий (доказательства) представлено выше.

2) Проверка правильности преобразований может быть выполнена пошагово, как это показано в решениях выше. Ключевые шаги: нахождение общего знаменателя, приведение дробей к нему, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение числителя на множители и сокращение дроби. Все эти шаги выполнены корректно, что подтверждается итоговым простым выражением, знак которого легко определить.

3) В условии указано, что рассматриваются "допустимые значения переменных", потому что исходные выражения содержат переменные в знаменателях дробей. Деление на ноль является неопределенной математической операцией, поэтому необходимо исключить все значения переменных, которые обращают хотя бы один из знаменателей в ноль. Эти значения не входят в область определения выражений. Именно условие работы в области допустимых значений позволяет нам выполнять сокращение дробей (например, сокращение на $x^2-4$ в пункте а) и на $y^2-1$ в пункте б)), так как мы уверены, что не делим на ноль.

Допустимые значения переменных:

Для задания а) знаменатели $x+2$ и $x^2-4$ равны нулю при $x=-2$ и $x=\pm2$ соответственно. Следовательно, допустимые значения для $x$ — это все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=-2$.

Для задания б) знаменатели $y^2-1$ и $y-1$ равны нулю при $y=\pm1$ и $y=1$ соответственно. Следовательно, допустимые значения для $y$ — это все действительные числа, кроме $y=1$ и $y=-1$.