Номер 97, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 97, страница 27.

97. Упростите выражение и найдите его значение при x = –1,5:

a) x + 1x² - x - x + 2x² - 1;

б) x + 2x² + 3x - 1 + xx² - 9.

a) $\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{(x+1)}^2}{x(x-1)(x+1)}-\frac{x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x(x^2-1)} \end{gathered}$$

при x=-1,5

$$\begin{gathered} \frac{1}{-1,5({(-1,5)}^2-1}=\frac{1}{-1,5(2,25-1)}= \\ =\frac{1}{-1,5·1,25}=-\frac{1}{1,875}=-\frac{1000}{1875}=-\frac{8}{15} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+2}{x^2+3x}-\frac{1+x}{x^2-9}=\frac{x+2}{x(x+3)}-\frac{1+x}{(x-3)(x+3)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x+2)(x-3)-x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}= \\ =\frac{x^2-3x+2x-6-x-x^2}{x(x+3)(x-3)}= \\ =\frac{-2x-6}{x(x^2-9)}=\frac{-2(x+3)}{x(x-3)(x+3)}=\frac{-2}{x(x-3)} \end{gathered}$$

при x=-1,5

$$\begin{gathered} \frac{-2}{-1,5·(-1,5-3)}=-\frac{2}{-1,5·(-4,5)}= \\ =-\frac{2}{6,75}=-\frac{200}{675}=-\frac{8}{27} \end{gathered}$$

а) Сначала упростим данное выражение:

$\frac{x+1}{x^2-x} - \frac{x+2}{x^2-1}$

Для того чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - x = x(x-1)$.

Знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Наименьший общий знаменатель равен произведению всех уникальных множителей: $x(x-1)(x+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+1)$, для второй — $x$.

$\frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}$

Теперь выполним вычитание, объединив дроби под общим знаменателем:

$\frac{(x+1)^2 - x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+1)^2 = x^2+2x+1$

$x(x+2) = x^2+2x$

Подставим полученные выражения в числитель и упростим его:

$(x^2+2x+1) - (x^2+2x) = x^2+2x+1 - x^2 - 2x = 1$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$\frac{1}{x(x-1)(x+1)}$

Теперь найдем значение этого выражения при $x = -1,5$. Подставим это значение в упрощенную дробь:

$\frac{1}{-1,5 \cdot (-1,5-1) \cdot (-1,5+1)} = \frac{1}{-1,5 \cdot (-2,5) \cdot (-0,5)}$

Вычислим произведение в знаменателе:

$-1,5 \cdot (-2,5) \cdot (-0,5) = 3,75 \cdot (-0,5) = -1,875$

Для получения точного ответа можно выполнить вычисления в обыкновенных дробях: $x = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

$\frac{1}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{3}{2}-1) \cdot (-\frac{3}{2}+1)} = \frac{1}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{5}{2}) \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{-\frac{3 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2}} = \frac{1}{-\frac{15}{8}} = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}$

б) Сначала упростим данное выражение:

$\frac{x+2}{x^2+3x} - \frac{1+x}{x^2-9}$

Разложим знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя.

Знаменатель первой дроби: $x^2+3x = x(x+3)$.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

Наименьший общий знаменатель: $x(x+3)(x-3)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-3)$, для второй — $x$.

$\frac{(x+2)(x-3)}{x(x+3)(x-3)} - \frac{x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(x+2)(x-3) - x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

$x(1+x) = x + x^2$

Подставим в числитель и упростим:

$(x^2 - x - 6) - (x + x^2) = x^2 - x - 6 - x - x^2 = -2x - 6$

Полученное выражение в числителе можно упростить, вынеся общий множитель -2:

$-2x - 6 = -2(x+3)$

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{-2(x+3)}{x(x+3)(x-3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$, при условии что $x \neq -3$:

$\frac{-2}{x(x-3)}$

Теперь найдем значение выражения при $x = -1,5$. Подставим это значение:

$\frac{-2}{-1,5 \cdot (-1,5-3)} = \frac{-2}{-1,5 \cdot (-4,5)}$

Вычислим знаменатель:

$-1,5 \cdot (-4,5) = 6,75$

Получаем: $\frac{-2}{6,75}$

Для получения точного ответа выполним вычисления в обыкновенных дробях: $x = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

$\frac{-2}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{3}{2}-3)} = \frac{-2}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{3}{2}-\frac{6}{2})} = \frac{-2}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{9}{2})} = \frac{-2}{\frac{27}{4}} = -2 \cdot \frac{4}{27} = -\frac{8}{27}$

Ответ: $-\frac{8}{27}$