Номер 98, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 98, страница 28.

98. Представьте в виде дроби:

a) 4y + 2 - 3y - 2 + 12y² - 4;

б) aa - 6 - 3a + 6 + a²36 - a²;

в) x²(x - y)² - x + y2x - 2y;

г) b(a - b)² - a + bb² - ab.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{4}{y+2}-\frac{3}{y-2}+\frac{12}{y^2-4}= \\ =\frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{(y-2)(y+2)}= \\ =\frac{4y-8-3y-6+12}{(y-2)(y+2)}=\frac{y-2}{(y-2)(y+2)}=\frac{1}{y+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a}{a-6}-\frac{3}{a+6}+\frac{a^2}{36-a^2}= \\ =\frac{a}{a-6}-\frac{3}{a+6}+\frac{a^2}{(6-a)(6+a)}= \\ =\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}= \\ =\frac{a^2+6a-3a+18-a^2}{(a-6)(a+6)}= \\ =\frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}=\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)}=\frac{3}{a-6} \end{gathered}$$

в) $\frac{x^2}{{(x-y)}^2}-\frac{x+y}{2x-2y}=\frac{x^2}{{(x-y)}^2}-\frac{x+y}{2(x-y)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2{(x-y)}^2}=\frac{2x^2-(x^2-y^2)}{2{(x-y)}^2}= \\ =\frac{2x^2-x^2+y^2}{2{(x-y)}^2}=\frac{x^2+y^2}{2{(x-y)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b}{{(a-b)}^2}-\frac{a+b}{b^2-ab}=\frac{b}{{(a-b)}^2}-\frac{a+b}{b(b-a)}= \\ =\frac{b}{{(a-b)}^2}+\frac{a+b}{b(a-b)}=\frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b{(a-b)}^2}= \\ =\frac{b^2+a^2-b^2}{b{(a-b)}^2}=\frac{a^2}{b{(a-b)}^2} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить выражение $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4}$ в виде дроби, найдем общий знаменатель.

Знаменатель третьей дроби, $y^2-4$, является разностью квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$. Следовательно, наименьший общий знаменатель для всех дробей — это $(y-2)(y+2)$.

Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(y-2)$, для второй — $(y+2)$. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} = \frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)}$

Теперь объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4y - 8 - 3y - 6 + 12}{(y-2)(y+2)} = \frac{(4y-3y) + (-8-6+12)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{(y-2)(y+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$:

$\frac{1}{y+2}$

Ответ: $\frac{1}{y+2}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2}$.

Найдем общий знаменатель. Знаменатель третьей дроби $36-a^2$ можно представить как $-(a^2-36)$, что является разностью квадратов: $-(a-6)(a+6)$.

Преобразуем последнюю дробь: $\frac{a^2}{36-a^2} = \frac{a^2}{-(a^2-36)} = -\frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$. Общий знаменатель — $(a-6)(a+6)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$

Объединим числители:

$\frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2 + 6a - 3a + 18 - a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{(a^2-a^2) + (6a-3a) + 18}{(a-6)(a+6)} = \frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} = \frac{3}{a-6}$

Ответ: $\frac{3}{a-6}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y}$.

Найдем общий знаменатель. Сначала преобразуем знаменатель второй дроби: $2x-2y = 2(x-y)$.

Знаменатели дробей: $(x-y)^2$ и $2(x-y)$. Наименьший общий знаменатель — $2(x-y)^2$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $2$, для второй — $(x-y)$.

$\frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}$

Объединим числители. Выражение $(x+y)(x-y)$ является формулой разности квадратов: $x^2-y^2$.

$\frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} = \frac{x^2 + y^2}{2(x-y)^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab}$.

Найдем общий знаменатель. Преобразуем знаменатель второй дроби: $b^2-ab = b(b-a)$.

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Тогда $b(b-a) = -b(a-b)$. Перепишем вторую дробь:

$-\frac{a+b}{b^2-ab} = -\frac{a+b}{-b(a-b)} = \frac{a+b}{b(a-b)}$

Выражение принимает вид: $\frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)}$.

Знаменатели дробей: $(a-b)^2$ и $b(a-b)$. Наименьший общий знаменатель — $b(a-b)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $(a-b)$.

$\frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$\frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b(a-b)^2}$