Номер 100, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 100, страница 28.

100. Выполните действие:

a) 1a - 4b - 1a + 4b - 2a16b² - a²;

б) 12b - 2a + 12b + 2a + a²a²b - b³.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}= \\ =\frac{(a+4b)-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)}= \\ =\frac{a+4b-a+4b+2a}{(a-4b)(a+4b)}=\frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)}= \\ =\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)}=\frac{2}{a-4b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2b-2a}+\frac{1}{2b+2a}+\frac{a^2}{a^{2}b-b^3}= \\ =\frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}+\frac{a^2}{b(a^2-b^2)}= \\ =\frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}+\frac{a^2}{b(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}-\frac{a^2}{b(b-a)(b+a)}= \\ =\frac{b(b+a)+b(b-a)-2a^2}{2b(b-a)(b+a)}= \\ =\frac{b^2+ab+b^2-ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)}= \\ =\frac{2b^2-2a^2}{2b(b^2-a^2)}=\frac{2(b^2-a^2)}{2b(b^2-a^2)}=\frac{1}{b} \end{gathered}$$

а) $\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}$
Для начала приведем все дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель третьей дроби на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$16b^2 - a^2 = (4b)^2 - a^2 = (4b - a)(4b + a)$.
Заметим, что $(4b - a) = -(a - 4b)$. Преобразуем третью дробь:
$\frac{2a}{16b^2 - a^2} = \frac{2a}{(4b - a)(4b + a)} = \frac{2a}{-(a - 4b)(a + 4b)} = -\frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \left(-\frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}\right) = \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Общий знаменатель для всех дробей — это $(a - 4b)(a + 4b)$. Приведем первые две дроби к этому знаменателю:
$\frac{1 \cdot (a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)} - \frac{1 \cdot (a - 4b)}{(a + 4b)(a - 4b)} + \frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Теперь выполним действия в числителе:
$\frac{(a + 4b) - (a - 4b) + 2a}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{a + 4b - a + 4b + 2a}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{2a + 8b}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + 4b)$:
$\frac{2}{a - 4b}$.
Ответ: $\frac{2}{a - 4b}$

б) $\frac{1}{2b - 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}$
Разложим знаменатели всех дробей на множители:
$2b - 2a = 2(b - a) = -2(a - b)$.
$2b + 2a = 2(b + a) = 2(a + b)$.
$a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) = b(a - b)(a + b)$.
Перепишем выражение с разложенными знаменателями, изменив знак у первой дроби:
$\frac{1}{-2(a - b)} + \frac{1}{2(a + b)} + \frac{a^2}{b(a - b)(a + b)} = -\frac{1}{2(a - b)} + \frac{1}{2(a + b)} + \frac{a^2}{b(a - b)(a + b)}$.
Общий знаменатель для этих дробей — это $2b(a - b)(a + b)$. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
$-\frac{1 \cdot b(a + b)}{2(a - b) \cdot b(a + b)} + \frac{1 \cdot b(a - b)}{2(a + b) \cdot b(a - b)} + \frac{a^2 \cdot 2}{b(a - b)(a + b) \cdot 2}$.
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{-b(a + b) + b(a - b) + 2a^2}{2b(a - b)(a + b)}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{-ab - b^2 + ab - b^2 + 2a^2}{2b(a - b)(a + b)} = \frac{2a^2 - 2b^2}{2b(a - b)(a + b)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и применим формулу разности квадратов:
$\frac{2(a^2 - b^2)}{2b(a - b)(a + b)} = \frac{2(a - b)(a + b)}{2b(a - b)(a + b)}$.
Сократим дробь на общие множители $2$, $(a-b)$ и $(a+b)$:
$\frac{1}{b}$.
Ответ: $\frac{1}{b}$