Номер 103, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 103, страница 29.

103. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь x² + 7x - 25x - 5 в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:

1. x + 5 +7xx - 5

2. x + 12 +35x - 5

3. -x +2x - 25x - 5

4. x +12x - 25x - 5

Укажите неверный ответ.

$\frac{x^2+7x-25}{x-5}$

1. $x+5+\frac{7x}{x-5}=\frac{(x+5)(x-5)+7x}{x-5}=\frac{x^2-25+7x}{x-5}$ - верно
2. $x+12+\frac{35}{x-5}=\frac{(x+12)(x-5)+35}{x-5}=$
   $=\frac{x^2-5x+12x-60+35}{x-5}=\frac{x^2+7x-25}{x-5}$ - верно
3. $-x+\frac{2x-25}{x-5}=\frac{-x(x-5)+2x-25}{x-5}=$
   $=\frac{-x^2+5x+2x-25}{x-5}=\frac{-x^2+7x-25}{x-5}$ - неверно
4. $x+\frac{12x-25}{x-5}=\frac{x(x-5)+12x-25}{x-5}=$
   $=\frac{x^2-5x+12x-25}{x-5}=\frac{x^2+7x-25}{x-5}$ - верно

Ответ: 3

Задача состоит в том, чтобы представить дробь $\frac{x^2+7x-25}{x-5}$ в виде суммы целого выражения и дроби, и указать, какой из предложенных ответов является неверным. Для этого мы проверим тождественности каждого из предложенных выражений исходной дроби. Мы будем приводить каждое выражение к общему знаменателю и сравнивать результат.

1. $x+5+\frac{7x}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$x+5+\frac{7x}{x-5} = \frac{(x+5)(x-5)}{x-5} + \frac{7x}{x-5} = \frac{x^2 - 25}{x-5} + \frac{7x}{x-5} = \frac{x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение совпадает с исходной дробью. Следовательно, это представление верно.

2. $x+12+\frac{35}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$x+12+\frac{35}{x-5} = \frac{(x+12)(x-5)}{x-5} + \frac{35}{x-5} = \frac{x^2 - 5x + 12x - 60}{x-5} + \frac{35}{x-5} = \frac{x^2+7x-60+35}{x-5} = \frac{x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение совпадает с исходной дробью. Этот результат также можно получить, выполнив деление многочлена $x^2+7x-25$ на $x-5$ столбиком (выделение целой части). Следовательно, это представление верно.

3. $-x+\frac{2x-25}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$-x+\frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x(x-5)}{x-5} + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x^2+5x}{x-5} + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x^2+5x+2x-25}{x-5} = \frac{-x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение $\frac{-x^2+7x-25}{x-5}$ не совпадает с исходной дробью $\frac{x^2+7x-25}{x-5}$, так как знаки при $x^2$ различны. Следовательно, это представление неверно.

4. $x+\frac{12x-25}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$x+\frac{12x-25}{x-5} = \frac{x(x-5)}{x-5} + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x^2-5x}{x-5} + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x^2-5x+12x-25}{x-5} = \frac{x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение совпадает с исходной дробью. Следовательно, это представление верно.

В результате проверки было установлено, что только выражение под номером 3 не является тождественно равным исходной дроби.

Ответ: 3