Страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

89. Докажите, что при всех допустимых значениях y значение выражения не зависит от y:

a) 5y + 32y + 2 - 7y + 43y + 3;

б) 11y + 133y - 3 + 15y + 174 - 4y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5y+3}{2y+2}-\frac{7y+4}{3y+3}=\frac{5y+3}{2(y+1)}-\frac{7y+4}{3(y+1)}= \\ =\frac{3(5y+3)}{6(y+1)}-\frac{2(7y+4)}{6(y+1)}= \\ =\frac{15y+9-14y-8}{6(y+1)}=\frac{y+1}{6(y+1)}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{11y+13}{3y-3}+\frac{15y+17}{4-4y}=\frac{11y+13}{3(y-1)}+ \\ +\frac{15y+17}{4(1-y)}=\frac{11y+13}{3(y-1)}-\frac{15y+17}{4(y-1)}= \\ =\frac{4(11y+13)}{12(y-1)}-\frac{3(15y+17)}{12(y-1)}= \\ =\frac{44y+52-45y-51}{12(y-1)}=\frac{1-y}{-12(1-y)}=-\frac{1}{12} \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от y при всех допустимых значениях, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения переменная y исчезнет, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение: $\frac{5y+3}{2y+2} - \frac{7y+4}{3y+3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной y. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$2y+2 \neq 0 \implies 2(y+1) \neq 0 \implies y \neq -1$

$3y+3 \neq 0 \implies 3(y+1) \neq 0 \implies y \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $y$ - любое действительное число, кроме $-1$.

Теперь приступим к упрощению выражения. Вынесем общие множители в знаменателях:

$\frac{5y+3}{2(y+1)} - \frac{7y+4}{3(y+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2(y+1)$ и $3(y+1)$ равен $6(y+1)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{3(5y+3)}{6(y+1)} - \frac{2(7y+4)}{6(y+1)}$

Запишем разность дробей как одну дробь:

$\frac{3(5y+3) - 2(7y+4)}{6(y+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15y+9 - (14y+8)}{6(y+1)} = \frac{15y+9 - 14y - 8}{6(y+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(15y-14y) + (9-8)}{6(y+1)} = \frac{y+1}{6(y+1)}$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $y \neq -1$, то $y+1 \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $(y+1)$:

$\frac{y+1}{6(y+1)} = \frac{1}{6}$

Результат упрощения — число $\frac{1}{6}$, которое не зависит от переменной y. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}$.

Определим ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$3y-3 \neq 0 \implies 3(y-1) \neq 0 \implies y \neq 1$

$4-4y \neq 0 \implies 4(1-y) \neq 0 \implies y \neq 1$

ОДЗ: $y$ - любое действительное число, кроме $1$.

Упростим выражение. Вынесем общие множители в знаменателях:

$\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{4(1-y)}$

Чтобы привести знаменатели к общему виду, вынесем $-1$ из скобки в знаменателе второй дроби: $4(1-y) = -4(y-1)$.

$\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{-4(y-1)} = \frac{11y+13}{3(y-1)} - \frac{15y+17}{4(y-1)}$

Наименьший общий знаменатель равен $12(y-1)$. Домножим первую дробь на 4, а вторую на 3:

$\frac{4(11y+13)}{12(y-1)} - \frac{3(15y+17)}{12(y-1)}$

Объединим дроби:

$\frac{4(11y+13) - 3(15y+17)}{12(y-1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{44y+52 - (45y+51)}{12(y-1)} = \frac{44y+52 - 45y - 51}{12(y-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(44y-45y) + (52-51)}{12(y-1)} = \frac{-y+1}{12(y-1)}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $-y+1 = -(y-1)$.

$\frac{-(y-1)}{12(y-1)}$

Так как из ОДЗ $y \neq 1$, то $y-1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(y-1)$:

$\frac{-(y-1)}{12(y-1)} = -\frac{1}{12}$

Результат упрощения — число $-\frac{1}{12}$, которое не зависит от переменной y. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $-\frac{1}{12}$.

90. Выполните действие:

a) a²ax - x² + xx - a;

б) b² - 4by2y² - by - 4yb - 2y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2}{ax-x^2}+\frac{x}{x-a}=\frac{a^2}{x(a-x)}-\frac{x}{a-x}= \\ =\frac{a^2-x^2}{x(a-x)}=\frac{(a-x)(a+x)}{x(a-x)}=\frac{a+x}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b^2-4by}{2y^2-4by}-\frac{4y}{b-2y}=\frac{b(b-4y)}{y(2y-b)}+ \\ +\frac{4y}{2y-b}=\frac{b^2-4by+4y^2}{y(2y-b)}= \\ =\frac{{(b-2y)}^2}{y(2y-b)}=\frac{{(2y-b)}^2}{y(2y-b)}=\frac{2y-b}{y} \end{gathered}$$

а) $\frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a}$

Для выполнения сложения приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

$ax - x^2 = x(a - x)$

Исходное выражение можно переписать так:

$\frac{a^2}{x(a - x)} + \frac{x}{x - a}$

Заметим, что знаменатель второй дроби, $x - a$, отличается от множителя $a - x$ в знаменателе первой дроби только знаком: $x - a = -(a - x)$.

Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби, поменяв знак перед дробью:

$\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x}$

Теперь общий знаменатель равен $x(a - x)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x \cdot x}{x(a - x)} = \frac{a^2 - x^2}{x(a - x)}$

Числитель $a^2 - x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$\frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)}$

Сократим общий множитель $(a - x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a - x \neq 0$):

$\frac{a + x}{x}$

Ответ: $\frac{a + x}{x}$

б) $\frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

$b^2 - 4by = b(b - 4y)$

$2y^2 - by = y(2y - b)$

Выражение примет вид:

$\frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} - \frac{4y}{b - 2y}$

Знаменатель второй дроби $b - 2y$ равен $-(2y - b)$. Вынесем минус из знаменателя, поменяв знак перед дробью:

$\frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} - \frac{4y}{-(2y - b)} = \frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} + \frac{4y}{2y - b}$

Общий знаменатель дробей — $y(2y - b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $y$:

$\frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} + \frac{4y \cdot y}{y(2y - b)} = \frac{b(b - 4y) + 4y^2}{y(2y - b)}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$b^2 - 4by + 4y^2$

Полученное выражение в числителе является полным квадратом разности: $(b)^2 - 2 \cdot b \cdot (2y) + (2y)^2 = (b - 2y)^2$.

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{(b - 2y)^2}{y(2y - b)}$

Так как $(b - 2y) = -(2y - b)$, то $(b - 2y)^2 = (-(2y - b))^2 = (2y - b)^2$. Сделаем замену в числителе для удобства сокращения:

$\frac{(2y - b)^2}{y(2y - b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2y - b)$ (при условии, что $2y - b \neq 0$):

$\frac{2y - b}{y}$

Ответ: $\frac{2y - b}{y}$

91. Выполните действие:

a) 1a² + ab + 1ab + b²;

б) 1b² - ab - 1ab - a².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{ab+b^2}=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}= \\ =\frac{b}{ab(a+b)}+\frac{a}{ab(a+b)}=\frac{a+b}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{b^2-ab}-\frac{1}{ab-a^2}=\frac{1}{b(b-a)}-\frac{1}{a(b-a)}= \\ =\frac{a}{ab(b-a)}-\frac{b}{ab(b-a)}=\frac{a-b}{-ab(a-b)}=-\frac{1}{ab} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2} $, сначала необходимо найти общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на множители.
В знаменателе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $a$:
$ a^2 + ab = a(a+b) $
В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $b$:
$ ab + b^2 = b(a+b) $
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)} $
Наименьшим общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей, то есть $ ab(a+b) $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, а для второй — $a$.
$ \frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)} $
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{b+a}{ab(a+b)} $
В числителе и знаменателе есть общий множитель $ (a+b) $, на который можно сократить дробь:
$ \frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab} $
Ответ: $ \frac{1}{ab} $

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{1}{b^2 - ab} - \frac{1}{ab - a^2} $, так же, как и в предыдущем примере, разложим знаменатели на множители.
В знаменателе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $b$:
$ b^2 - ab = b(b-a) $
В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $a$:
$ ab - a^2 = a(b-a) $
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{b(b-a)} - \frac{1}{a(b-a)} $
Общий знаменатель для этих дробей — $ ab(b-a) $. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, а для второй — $b$.
$ \frac{1 \cdot a}{b(b-a) \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a(b-a) \cdot b} = \frac{a}{ab(b-a)} - \frac{b}{ab(b-a)} $
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{a-b}{ab(b-a)} $
Заметим, что выражения в числителе и в скобках в знаменателе отличаются только знаком: $ a-b = -(b-a) $.
$ \frac{-(b-a)}{ab(b-a)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (b-a) $:
$ \frac{-1}{ab} = -\frac{1}{ab} $
Ответ: $ -\frac{1}{ab} $

92. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 1 - a + ba - b;

б) a² + b²a - b - a;

в) m - n +n²m + n;

г) a + b -a² + b²a + b;

д) x - 9x - 3 - 3;

е) a² - a⁴ + 1a² - 1 + 1.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}1-\frac{a+b}{a-b}=\frac{(a-b)-(a+b)}{a-b}= \\ =\frac{a-b-a-b}{a-b}=-\frac{2b}{a-b}=\frac{2b}{b-a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a^2+b^2}{a-b}-a=\frac{a^2+b^2-a(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b}=\frac{b^2+ab}{a-b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}m-n+\frac{n^2}{m+n}=\frac{(m-n)(m+n)+n^2}{m+n}= \\ =\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n}=\frac{m^2}{m+n} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-(a^2+b^2)}{a+b}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b}=\frac{2ab}{a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}x-\frac{9}{x-3}-3=\frac{x(x-3)-9-3(x-3)}{x-3}= \\ =\frac{x^2-3x-9-3x+9}{x-3}=\frac{x^2-6x}{x-3} \end{gathered}$$

е) $a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1=\frac{a^2(a^2-1)-(a^4+1)+(a^2-1)}{a^2-1}=$
$=\frac{a^4-a^2-a^4-1+a^2-1}{a^2-1}=-\frac{2}{a^2-1}=\frac{2}{1-a^2}$

а) Чтобы преобразовать выражение в дробь, представим 1 как дробь со знаменателем $a-b$ и выполним вычитание.

$1 - \frac{a+b}{a-b} = \frac{1 \cdot (a-b)}{a-b} - \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} - \frac{a+b}{a-b}$

Теперь объединим дроби, вычитая числители:

$\frac{(a-b) - (a+b)}{a-b} = \frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b}$

Ответ: $\frac{-2b}{a-b}$

б) Чтобы преобразовать выражение в дробь, представим $a$ как дробь со знаменателем $a-b$ и выполним вычитание.

$\frac{a^2+b^2}{a-b} - a = \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a^2-ab}{a-b}$

Объединим дроби:

$\frac{(a^2+b^2) - (a^2-ab)}{a-b} = \frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b} = \frac{b^2+ab}{a-b}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе:

$\frac{b(b+a)}{a-b}$

Ответ: $\frac{b^2+ab}{a-b}$

в) Сначала сгруппируем первые два члена, а затем приведем все выражение к общему знаменателю $m+n$.

$m - n + \frac{n^2}{m+n} = \frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n}$

Применим формулу разности квадратов к числителю первой дроби: $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

$\frac{m^2-n^2}{m+n} + \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$

г) Сгруппируем первые два члена и приведем все выражение к общему знаменателю $a+b$.

$a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Раскроем квадрат суммы в числителе первой дроби: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$

д) Сгруппируем члены, не являющиеся дробью, и приведем выражение к общему знаменателю $x-3$.

$x - \frac{9}{x-3} - 3 = (x-3) - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2 - 9}{x-3}$

Числитель является разностью квадратов $(x-3)^2 - 3^2$, которую можно разложить на множители:

$\frac{((x-3)-3)((x-3)+3)}{x-3} = \frac{(x-6)x}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3}$

Ответ: $\frac{x^2-6x}{x-3}$

е) Сгруппируем члены, не являющиеся дробью, и приведем выражение к общему знаменателю $a^2-1$.

$a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 = (a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1}$

Используем формулу разности квадратов в числителе первой дроби: $(a^2+1)(a^2-1) = (a^2)^2-1^2=a^4-1$.

$\frac{a^4-1}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^4-1) - (a^4+1)}{a^2-1} = \frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{-2}{a^2-1}$

93. Выполните вычитание дробей:

a) a² + 3aab - 5b + 8a - 40 - ab + 8;

б) y3x - 2 - 3y6xy + 9x - 4y - 6.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2+3a}{ab-5b+8a-40}-\frac{a}{b+8}= \\ =\frac{a^2+3a}{(ab-5b)+(8a-40)}-\frac{a}{b+8}= \\ =\frac{a^2+3a}{b(a-5)+8(a-5)}-\frac{a}{b+8}= \\ =\frac{a^2+3a}{(a-5)(b+8)}-\frac{a(a-5)}{(a-5)(b+8)}= \\ =\frac{a^2+3a-a^2+5a}{(a-5)(b+8)}=\frac{8a}{ab+8a-5b-40} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{6xy+9x-4y-6}= \\ =\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{(6xy+9x)-(4y+6)}= \\ =\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{3x(2y+3)-2(2y+3)}= \\ =\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{(2y+3)(3x-2)}=\frac{y(2y+3)-3y}{(2y+3)(3x-2)}= \\ =\frac{2y^2+3y-3y}{6xy-4y+9x-6}=\frac{2y^2}{6xy-4y+9x-6} \end{gathered}$$

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{a^2 + 3a}{ab - 5b + 8a - 40} - \frac{a}{b+8} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала упростим знаменатель первой дроби.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби $ ab - 5b + 8a - 40 $ методом группировки:

$ ab - 5b + 8a - 40 = (ab - 5b) + (8a - 40) = b(a - 5) + 8(a - 5) $

Вынесем общий множитель $ (a - 5) $ за скобки:

$ (a - 5)(b + 8) $

2. Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a}{b+8} $

3. Общий знаменатель для этих дробей — $ (a - 5)(b + 8) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (a - 5) $:

$ \frac{a(a - 5)}{(b + 8)(a - 5)} = \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} $

4. Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{(a^2 + 3a) - (a^2 - 5a)}{(a - 5)(b + 8)} $

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 + 3a - a^2 + 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

Ответ: $ \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

б)

Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{6xy + 9x - 4y - 6} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала упростим знаменатель второй дроби.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби $ 6xy + 9x - 4y - 6 $ методом группировки:

$ 6xy + 9x - 4y - 6 = (6xy + 9x) - (4y + 6) = 3x(2y + 3) - 2(2y + 3) $

Вынесем общий множитель $ (2y + 3) $ за скобки:

$ (3x - 2)(2y + 3) $

2. Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

3. Общий знаменатель для этих дробей — $ (3x - 2)(2y + 3) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $ (2y + 3) $:

$ \frac{y(2y + 3)}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

4. Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{(2y^2 + 3y) - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

5. Упростим числитель:

$ \frac{2y^2 + 3y - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Ответ: $ \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $

94. Выполните действие:

a) cb - c + b² - 3bcb² - c²;

б) a + 3a² - 1 - 1a² + a.

a) $\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}=\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{c(b+c)+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}=\frac{bc+c^2+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}= \\ =\frac{b^2-2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{{(b-c)}^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{b-c}{b+c} \end{gathered}$$

б) $\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}=\frac{a+3}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(a+3)-(a-1)}{a(a-1)(a+1)}=\frac{a^2+3a-a+1}{a(a-1)(a+1)}= \\ =\frac{a^2+2a+1}{a(a-1)(a+1)}==\frac{{(a+1)}^2}{a(a-1)(a+1)}= \\ =\frac{a+1}{a(a-1)}=\frac{a+1}{a^2-a} \end{gathered}$$

а) $ \frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$ b^2 - c^2 = (b-c)(b+c) $

Общим знаменателем будет выражение $(b-c)(b+c)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(b+c)$.

$ \frac{c}{b-c} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} + \frac{b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} $

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений.

$ \frac{c(b+c) + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b-c)(b+c)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе.

$ \frac{b^2 - 2bc + c^2}{(b-c)(b+c)} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Свернем его по этой формуле.

$ \frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)} $

Сократим дробь на общий множитель $(b-c)$.

$ \frac{b-c}{b+c} $

Ответ: $ \frac{b-c}{b+c} $

б) $ \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} $

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Разложим каждый знаменатель на множители.

Знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $.

Знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки: $ a^2 + a = a(a+1) $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ a(a-1)(a+1) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$, а второй дроби — на $(a-1)$.

$ \frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1(a-1)}{a(a-1)(a+1)} $

Выполним вычитание числителей.

$ \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a-1)(a+1)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе.

$ \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a+1)} $

Числитель является полным квадратом суммы $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Свернем его.

$ \frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$.

$ \frac{a+1}{a(a-1)} $

Ответ: $ \frac{a+1}{a(a-1)} $

95. Преобразуйте в дробь выражение:

a) b - 64 - b² + 22b - b²;

б) bab - 5a² - 15b - 25ab² - 25a²;

в) x - 12ax² - 16a² - 4a4ax - x²;

г) a - 30ya² - 100y² - 10y10ay - a²;

a) $\frac{b-6}{4-b^2}+\frac{2}{2b-b^2}=\frac{b-6}{(2-b)(2+b)}+\frac{2}{b(2-b)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{b(b-6)+2(2+b)}{b(2-b)(2+b)}=\frac{b^2-6b+4+2b}{b(2-b)(2+b)}= \\ =\frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)}=\frac{{(2-b)}^2}{b(2-b)(2+b)}=\frac{2-b}{2b+b^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b}{ab-5a^2}-\frac{15b-25a}{b^2-25a^2}= \\ =\frac{b}{a(b-5a)}-\frac{5(3b-5a)}{(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b(b+5a)-(15b-25a)a}{a(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b^2+5ab-15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}=\frac{{(b-5a)}^2}{a(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b-5a}{a(b+5a)}=\frac{b-5a}{ab+5a^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-12a}{x^2-16a^2}-\frac{4a}{4ax-x^2}= \\ =\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)}-\frac{4a}{x(4a-x)}= \\ =\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)}+\frac{4a}{x(x-4a)}= \\ =\frac{x(x-12a)+4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)}= \\ =\frac{x^2-12ax+4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}= \\ =\frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}=\frac{{(x-4a)}^2}{x(x-4a)(x+4a)}= \\ =\frac{x-4a}{x(x+4a)}=\frac{x-4a}{x^2+4ax} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a-30y}{a^2-100y^2}-\frac{10y}{10ay-a^2}= \\ =\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)}-\frac{10y}{a(10y-a)}= \\ =\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)}+\frac{10y}{a(a-10y)}= \\ =\frac{a(a-30y)+10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)}= \\ =\frac{a^2-30ay+10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}= \\ =\frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}=\frac{{(a-10y)}^2}{a(a-10y)(a+10y)}= \\ =\frac{a-10y}{a(a+10y)}=\frac{a-10y}{a^2+10ay} \end{gathered}$$

а) $\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}$

Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $4-b^2$ является разностью квадратов: $4-b^2 = (2-b)(2+b)$. Знаменатель второй дроби $2b-b^2$ имеет общий множитель $b$: $2b-b^2 = b(2-b)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{b-6}{(2-b)(2+b)} + \frac{2}{b(2-b)}$

Общий знаменатель для этих дробей - $b(2-b)(2+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $(2+b)$.

$\frac{(b-6) \cdot b}{b(2-b)(2+b)} + \frac{2 \cdot (2+b)}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2-6b}{b(2-b)(2+b)} + \frac{4+2b}{b(2-b)(2+b)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{b^2-6b+4+2b}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)}$

Числитель $b^2-4b+4$ является полным квадратом разности: $(b-2)^2$. Заметим, что $(b-2)^2 = (-(2-b))^2 = (2-b)^2$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(2-b)^2}{b(2-b)(2+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2-b)$ (при условии $b \neq 2$):

$\frac{2-b}{b(2+b)}$

Ответ: $\frac{2-b}{b(2+b)}$

б) $\frac{b}{ab-5a^2} - \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}$

Разложим знаменатели на множители. В знаменателе первой дроби $ab-5a^2$ вынесем общий множитель $a$: $a(b-5a)$. Знаменатель второй дроби $b^2-25a^2$ - это разность квадратов: $(b-5a)(b+5a)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{b}{a(b-5a)} - \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)}$

Общий знаменатель равен $a(b-5a)(b+5a)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $(b+5a)$, для второй - $a$.

$\frac{b(b+5a)}{a(b-5a)(b+5a)} - \frac{(15b-25a)a}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2+5ab}{a(b-5a)(b+5a)} - \frac{15ab-25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{b^2+5ab - (15ab-25a^2)}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2+5ab-15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Числитель $b^2-10ab+25a^2$ является полным квадратом разности: $(b-5a)^2$.

Подставим в дробь:

$\frac{(b-5a)^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Сократим на общий множитель $(b-5a)$ (при $b \neq 5a$):

$\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

Ответ: $\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

в) $\frac{x-12a}{x^2-16a^2} - \frac{4a}{4ax-x^2}$

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $x^2-16a^2$ - это разность квадратов: $(x-4a)(x+4a)$. В знаменателе второй дроби $4ax-x^2$ вынесем общий множитель $x$: $x(4a-x)$.

Заметим, что $4a-x = -(x-4a)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{4a}{4ax-x^2} = \frac{4a}{x(4a-x)} = \frac{4a}{-x(x-4a)} = -\frac{4a}{x(x-4a)}$

Исходное выражение примет вид:

$\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} - (-\frac{4a}{x(x-4a)}) = \frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a}{x(x-4a)}$

Общий знаменатель равен $x(x-4a)(x+4a)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $x$, для второй - $(x+4a)$.

$\frac{(x-12a)x}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-12ax}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Сложим числители:

$\frac{x^2-12ax+4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Числитель $x^2-8ax+16a^2$ является полным квадратом разности: $(x-4a)^2$.

$\frac{(x-4a)^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Сократим на $(x-4a)$ (при $x \neq 4a$):

$\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

Ответ: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

г) $\frac{a-30y}{a^2-100y^2} - \frac{10y}{10ay-a^2}$

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $a^2-100y^2$ - это разность квадратов: $(a-10y)(a+10y)$. В знаменателе второй дроби $10ay-a^2$ вынесем за скобки общий множитель $a$: $a(10y-a)$.

Выражение $10y-a$ можно представить как $-(a-10y)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{10y}{10ay-a^2} = \frac{10y}{a(10y-a)} = \frac{10y}{-a(a-10y)} = -\frac{10y}{a(a-10y)}$

Тогда исходное выражение можно переписать так:

$\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} - (-\frac{10y}{a(a-10y)}) = \frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y}{a(a-10y)}$

Общий знаменатель - $a(a-10y)(a+10y)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $a$, для второй - $(a+10y)$.

$\frac{(a-30y)a}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-30ay}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Сложим числители:

$\frac{a^2-30ay+10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Числитель $a^2-20ay+100y^2$ является полным квадратом разности: $(a-10y)^2$.

$\frac{(a-10y)^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Сократим дробь на $(a-10y)$ (при $a \neq 10y$):

$\frac{a-10y}{a(a+10y)}$

Ответ: $\frac{a-10y}{a(a+10y)}$

96. Выполните действие:

a) a + 4a² - 2a - aa² - 4;

б) 4 - x²16 - x² - x + 1x + 4;

в) (a + b)²a² - ab + (a - b)²a² - ab;

г) x² - 45x - 10 - x² + 4x + 45x + 10;

a) $\frac{a+4}{a^2-2a}-\frac{a}{a^2-4}=\frac{a+4}{a(a-2)}-\frac{a}{(a-2)(a+2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)}=\frac{a^2+2a+4a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{6a+8}{a(a^2-4)}=\frac{6a+8}{a^3-4a} \end{gathered}$$

б) $\frac{4-x^2}{16-x^2}-\frac{x+1}{x+4}=\frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)}-\frac{x+1}{4+x}=$

$$\begin{gathered} =\frac{4-x^2-(x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)}= \\ =\frac{4-x^2-(4x-x^2+4-x)}{(4-x)(4+x)}= \\ =\frac{4-x^2-4x+x^2-4+x}{(4-x)(4+x)}=\frac{-3x}{16-x^2}= \\ =-\frac{3x}{16-x^2}=\frac{3x}{x^2-16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(a+b)}^2}{a^2+ab}+\frac{{(a-b)}^2}{a^2-ab}=\frac{{(a+b)}^2}{a(a+b)}+\frac{{(a-b)}^2}{a(a-b)}= \\ =\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{a}=\frac{a+b+a-b}{a}=\frac{2a}{a}=2 \end{gathered}$$

г) $\frac{x^2-4}{5x-10}-\frac{x^2+4x+4}{5x+10}=\frac{x^2-4}{5(x-2)}-\frac{x^2+4x+4}{5(x+2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2-4}{5(x-2)}-\frac{{(x+2)}^2}{5(x+2)}=\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)}-\frac{x+2}{5}= \\ =\frac{(x+2)-(x+2)}{5}=\frac{0}{5}=0 \end{gathered}$$

а) $ \frac{a+4}{a^2-2a} - \frac{a}{a^2-4} $
Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ a^2 - 2a = a(a-2) $.
Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $.
Наименьший общий знаменатель равен $ a(a-2)(a+2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a+2) $, для второй — $ a $.
$ \frac{a+4}{a(a-2)} - \frac{a}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a+4)(a+2)}{a(a-2)(a+2)} - \frac{a \cdot a}{a(a-2)(a+2)} $
Теперь выполним действия в числителе:
$ \frac{(a^2+2a+4a+8) - a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+6a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)} $
Можно вынести общий множитель 2 в числителе:
$ \frac{2(3a+4)}{a(a^2-4)} $
Ответ: $ \frac{6a+8}{a(a^2-4)} $.

б) $ \frac{4-x^2}{16-x^2} - \frac{x+1}{x+4} $
Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $ 16-x^2 = (4-x)(4+x) $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)} - \frac{x+1}{x+4} $
Общий знаменатель — $ (4-x)(4+x) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (4-x) $:
$ \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)} - \frac{(x+1)(4-x)}{(4+x)(4-x)} $
Выполним вычитание под общим знаменателем:
$ \frac{4-x^2 - (x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)} = \frac{4-x^2 - (4x-x^2+4-x)}{(4-x)(4+x)} $
Упростим выражение в числителе:
$ \frac{4-x^2 - (3x-x^2+4)}{16-x^2} = \frac{4-x^2-3x+x^2-4}{16-x^2} = \frac{-3x}{16-x^2} $
Ответ: $ \frac{-3x}{16-x^2} $.

в) $ \frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab} $
Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:
$ a^2+ab = a(a+b) $
$ a^2-ab = a(a-b) $
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{(a+b)^2}{a(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{a(a-b)} $
Сократим дроби (при условии, что $ a \neq 0, a+b \neq 0, a-b \neq 0 $):
$ \frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a} $
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$ \frac{(a+b) + (a-b)}{a} = \frac{a+b+a-b}{a} = \frac{2a}{a} $
Сократим на $ a $:
$ \frac{2a}{a} = 2 $
Ответ: $ 2 $.

г) $ \frac{x^2-4}{5x-10} - \frac{x^2+4x+4}{5x+10} $
Разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби.
Для первой дроби: $ x^2-4=(x-2)(x+2) $ и $ 5x-10=5(x-2) $.
Для второй дроби: $ x^2+4x+4=(x+2)^2 $ и $ 5x+10=5(x+2) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} - \frac{(x+2)^2}{5(x+2)} $
Сократим дроби (при условии, что $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $):
$ \frac{x+2}{5} - \frac{x+2}{5} $
Дроби одинаковы, поэтому их разность равна нулю.
$ \frac{x+2}{5} - \frac{x+2}{5} = 0 $
Ответ: $ 0 $.

97. Упростите выражение и найдите его значение при x = –1,5:

a) x + 1x² - x - x + 2x² - 1;

б) x + 2x² + 3x - 1 + xx² - 9.

a) $\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{(x+1)}^2}{x(x-1)(x+1)}-\frac{x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x(x^2-1)} \end{gathered}$$

при x=-1,5

$$\begin{gathered} \frac{1}{-1,5({(-1,5)}^2-1}=\frac{1}{-1,5(2,25-1)}= \\ =\frac{1}{-1,5·1,25}=-\frac{1}{1,875}=-\frac{1000}{1875}=-\frac{8}{15} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+2}{x^2+3x}-\frac{1+x}{x^2-9}=\frac{x+2}{x(x+3)}-\frac{1+x}{(x-3)(x+3)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x+2)(x-3)-x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}= \\ =\frac{x^2-3x+2x-6-x-x^2}{x(x+3)(x-3)}= \\ =\frac{-2x-6}{x(x^2-9)}=\frac{-2(x+3)}{x(x-3)(x+3)}=\frac{-2}{x(x-3)} \end{gathered}$$

при x=-1,5

$$\begin{gathered} \frac{-2}{-1,5·(-1,5-3)}=-\frac{2}{-1,5·(-4,5)}= \\ =-\frac{2}{6,75}=-\frac{200}{675}=-\frac{8}{27} \end{gathered}$$

а) Сначала упростим данное выражение:

$\frac{x+1}{x^2-x} - \frac{x+2}{x^2-1}$

Для того чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - x = x(x-1)$.

Знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Наименьший общий знаменатель равен произведению всех уникальных множителей: $x(x-1)(x+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+1)$, для второй — $x$.

$\frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}$

Теперь выполним вычитание, объединив дроби под общим знаменателем:

$\frac{(x+1)^2 - x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+1)^2 = x^2+2x+1$

$x(x+2) = x^2+2x$

Подставим полученные выражения в числитель и упростим его:

$(x^2+2x+1) - (x^2+2x) = x^2+2x+1 - x^2 - 2x = 1$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$\frac{1}{x(x-1)(x+1)}$

Теперь найдем значение этого выражения при $x = -1,5$. Подставим это значение в упрощенную дробь:

$\frac{1}{-1,5 \cdot (-1,5-1) \cdot (-1,5+1)} = \frac{1}{-1,5 \cdot (-2,5) \cdot (-0,5)}$

Вычислим произведение в знаменателе:

$-1,5 \cdot (-2,5) \cdot (-0,5) = 3,75 \cdot (-0,5) = -1,875$

Для получения точного ответа можно выполнить вычисления в обыкновенных дробях: $x = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

$\frac{1}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{3}{2}-1) \cdot (-\frac{3}{2}+1)} = \frac{1}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{5}{2}) \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{-\frac{3 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2}} = \frac{1}{-\frac{15}{8}} = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}$

б) Сначала упростим данное выражение:

$\frac{x+2}{x^2+3x} - \frac{1+x}{x^2-9}$

Разложим знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя.

Знаменатель первой дроби: $x^2+3x = x(x+3)$.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

Наименьший общий знаменатель: $x(x+3)(x-3)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-3)$, для второй — $x$.

$\frac{(x+2)(x-3)}{x(x+3)(x-3)} - \frac{x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(x+2)(x-3) - x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

$x(1+x) = x + x^2$

Подставим в числитель и упростим:

$(x^2 - x - 6) - (x + x^2) = x^2 - x - 6 - x - x^2 = -2x - 6$

Полученное выражение в числителе можно упростить, вынеся общий множитель -2:

$-2x - 6 = -2(x+3)$

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{-2(x+3)}{x(x+3)(x-3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$, при условии что $x \neq -3$:

$\frac{-2}{x(x-3)}$

Теперь найдем значение выражения при $x = -1,5$. Подставим это значение:

$\frac{-2}{-1,5 \cdot (-1,5-3)} = \frac{-2}{-1,5 \cdot (-4,5)}$

Вычислим знаменатель:

$-1,5 \cdot (-4,5) = 6,75$

Получаем: $\frac{-2}{6,75}$

Для получения точного ответа выполним вычисления в обыкновенных дробях: $x = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

$\frac{-2}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{3}{2}-3)} = \frac{-2}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{3}{2}-\frac{6}{2})} = \frac{-2}{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{9}{2})} = \frac{-2}{\frac{27}{4}} = -2 \cdot \frac{4}{27} = -\frac{8}{27}$

Ответ: $-\frac{8}{27}$