Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

110. Выполните умножение:

a) 53a ∙ 2b3;

б) 5a8y ∙ 710;

в) b²10 ∙ 5b;

г) 18c⁴ ∙ c³24.

a) $\frac{5}{3a}·\frac{2b}{3}=\frac{5\mathbf{·}2b}{3a·3}=\frac{10b}{9a}$

б) $\frac{5a}{8y}·\frac{7}{10}=\frac{5a·7}{8y·10}=\frac{a·7}{8y·2}=\frac{7a}{16y}$

в) $\frac{b^2}{10}·\frac{5}{b}=\frac{b^2·5}{10·b}=\frac{b}{2}$

г) $\frac{18}{c^4}·\frac{c^3}{24}=\frac{18·c^3}{c^4·24}=\frac{3}{4c}$

а)

Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Числитель первой дроби умножается на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй.
$ \frac{5}{3a} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{5 \cdot 2b}{3a \cdot 3} $
Выполняем умножение в числителе и знаменателе:
$ \frac{10b}{9a} $
В полученной дроби нет общих множителей в числителе и знаменателе, поэтому она является несократимой.
Ответ: $ \frac{10b}{9a} $

б)

Перемножаем числители и знаменатели дробей:
$ \frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5a \cdot 7}{8y \cdot 10} $
Прежде чем выполнять умножение, можно выполнить сокращение, чтобы упростить вычисления. Сократим множитель 5 в числителе и множитель 10 в знаменателе на 5:
$ \frac{\cancel{5}a}{8y} \cdot \frac{7}{\cancel{10}_2} = \frac{a \cdot 7}{8y \cdot 2} = \frac{7a}{16y} $
Если бы мы сначала перемножили, то получили бы:
$ \frac{35a}{80y} $
Эту дробь можно сократить на 5:
$ \frac{35a \div 5}{80y \div 5} = \frac{7a}{16y} $
Ответ: $ \frac{7a}{16y} $

в)

Перемножаем числители и знаменатели:
$ \frac{b^2}{10} \cdot \frac{5}{b} = \frac{b^2 \cdot 5}{10 \cdot b} $
Выполним сокращение до перемножения. Сократим 5 и 10 на 5. Также сократим $b^2$ и $b$ на $b$:
$ \frac{b^{\cancel{2}}}{ \cancel{10}_2} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{b}} = \frac{b}{2} $
Если выполнить умножение сначала:
$ \frac{5b^2}{10b} $
Сокращаем дробь на $5b$:
$ \frac{5b^2 \div 5b}{10b \div 5b} = \frac{b}{2} $
Ответ: $ \frac{b}{2} $

г)

Перемножаем числители и знаменатели:
$ \frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24} = \frac{18 \cdot c^3}{c^4 \cdot 24} $
Выполним сокращение. Числа 18 и 24 делятся на 6: $18 \div 6 = 3$, $24 \div 6 = 4$.
Степени переменной $c$ сокращаются: $ \frac{c^3}{c^4} = \frac{1}{c} $.
$ \frac{\cancel{18}_3}{\cancel{c^4}_c} \cdot \frac{\cancel{c^3}}{\cancel{24}_4} = \frac{3}{c \cdot 4} = \frac{3}{4c} $
Если выполнить умножение сначала:
$ \frac{18c^3}{24c^4} $
Сокращаем дробь на $6c^3$:
$ \frac{18c^3 \div 6c^3}{24c^4 \div 6c^3} = \frac{3}{4c} $
Ответ: $ \frac{3}{4c} $

111. Представьте в виде дроби:

a) 3x4y ∙ 103x²;

б) 2,52a² ∙ 4a³5b²;

в) 7a³24b ∙ 8b²;

г) 14ab ∙ 121b³.

a) $\frac{3x}{4y}·\frac{10}{3x^2}=\frac{3x·10}{4y·3x^2}=\frac{5}{2xy}$

б) $\frac{2,5}{2a^2}·\frac{4a^3}{5b^2}=\frac{2,5·4a^3}{2a^2·5b^2}=\frac{10a^3}{10a^2{b}^2}=\frac{a}{b^2}$

в) $\frac{7a^3}{24b}·8b^2=\frac{7a^3·8b^2}{24b}=\frac{7a^{3}b}{3}$

г) $14ab·\frac{1}{21b^3}=\frac{14ab}{21b^3}=\frac{2a}{3b^2}$

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{3x}{4y} \cdot \frac{10}{3x^2} = \frac{3x \cdot 10}{4y \cdot 3x^2}$

Запишем произведение в виде одной дроби и сгруппируем множители для удобства сокращения:

$\frac{3 \cdot 10 \cdot x}{4 \cdot 3 \cdot y \cdot x^2}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $3$:

$\frac{10 \cdot x}{4 \cdot y \cdot x^2}$

Сократим числовые коэффициенты $10$ и $4$ на их наибольший общий делитель $2$ ($10 = 2 \cdot 5$, $4 = 2 \cdot 2$):

$\frac{5 \cdot x}{2 \cdot y \cdot x^2}$

Сократим дробь на $x$, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ (в данном случае $\frac{x^1}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x}$):

$\frac{5}{2y \cdot x} = \frac{5}{2xy}$

Ответ: $\frac{5}{2xy}$

б) Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{2,5}{2a^2} \cdot \frac{4a^3}{5b^2} = \frac{2,5 \cdot 4a^3}{2a^2 \cdot 5b^2}$

Выполним умножение числовых коэффициентов в числителе и знаменателе:

$2,5 \cdot 4 = 10$

$2 \cdot 5 = 10$

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{10a^3}{10a^2b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $10$:

$\frac{a^3}{a^2b^2}$

Сократим на $a^2$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{3-2}}{b^2} = \frac{a^1}{b^2} = \frac{a}{b^2}$

Ответ: $\frac{a}{b^2}$

в) Представим выражение $8b^2$ в виде дроби $\frac{8b^2}{1}$ и выполним умножение дробей:

$\frac{7a^3}{24b} \cdot 8b^2 = \frac{7a^3}{24b} \cdot \frac{8b^2}{1} = \frac{7a^3 \cdot 8b^2}{24b}$

Сократим числовые коэффициенты $8$ и $24$ на их наибольший общий делитель $8$:

$\frac{7a^3 \cdot b^2}{3b}$

Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$:

$\frac{7a^3 b^{2-1}}{3} = \frac{7a^3 b}{3}$

Ответ: $\frac{7a^3b}{3}$

г) Представим выражение $14ab$ в виде дроби $\frac{14ab}{1}$ и выполним умножение:

$14ab \cdot \frac{1}{21b^3} = \frac{14ab}{1} \cdot \frac{1}{21b^3} = \frac{14ab}{21b^3}$

Сократим числовые коэффициенты $14$ и $21$ на их наибольший общий делитель $7$:

$\frac{2ab}{3b^3}$

Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{b^m}{b^n} = \frac{1}{b^{n-m}}$:

$\frac{2a}{3b^{3-1}} = \frac{2a}{3b^2}$

Ответ: $\frac{2a}{3b^2}$

112. Выполните умножение:

a) 125x ∙ x³12a;

б) 8c²15m ∙ 14c²;

в) 11a⁴6 ∙ 12ba⁵;

г) 4n²3m² ∙ 9m2.

a) $\frac{12}{5x}·\frac{x^3}{12a}=\frac{12x^3}{5x·12a}=\frac{x^2}{5a}$

б) $\frac{8c^2}{15m}·\frac{1}{4c^2}=\frac{8c^2}{15m·4c^2}=\frac{2}{15m}$

в) $\frac{11a^4}{6}·\frac{12b}{a^5}=\frac{11a^4·12b}{6·a^5}=\frac{11·2b}{a}=\frac{22b}{a}$

г) $\frac{4n^2}{3m^2}·\frac{9m}{2}=\frac{4n^2·9m}{3m^2·2}=\frac{2n^2·3}{m}=\frac{6n^2}{m}$

а)

Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно.

$ \frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a} = \frac{12 \cdot x^3}{5x \cdot 12a} $

Далее, необходимо сократить полученную дробь. Мы видим, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель 12, который можно сократить:

$ \frac{\cancel{12} \cdot x^3}{5x \cdot \cancel{12}a} = \frac{x^3}{5xa} $

Теперь сократим переменные. В числителе стоит $x^3$, а в знаменателе $x$. По свойству степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $, получаем:

$ \frac{x^{3-1}}{5a} = \frac{x^2}{5a} $

Ответ: $ \frac{x^2}{5a} $

б)

Перемножим числители и знаменатели данных дробей:

$ \frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2} = \frac{8c^2 \cdot 1}{15m \cdot 4c^2} = \frac{8c^2}{60mc^2} $

Сократим общие множители. Сначала сократим $c^2$:

$ \frac{8\cancel{c^2}}{60m\cancel{c^2}} = \frac{8}{60m} $

Теперь сократим числовые коэффициенты 8 и 60. Их наибольший общий делитель равен 4:

$ \frac{8 \div 4}{60 \div 4 \cdot m} = \frac{2}{15m} $

Ответ: $ \frac{2}{15m} $

в)

Выполним умножение числителей и знаменателей:

$ \frac{11a^4}{6} \cdot \frac{12b}{a^5} = \frac{11a^4 \cdot 12b}{6 \cdot a^5} $

Сократим числовые коэффициенты. 12 в числителе и 6 в знаменателе можно сократить на 6:

$ \frac{11a^4 \cdot (6 \cdot 2)b}{6 \cdot a^5} = \frac{11a^4 \cdot 2b}{a^5} $

Теперь сократим степени с основанием $a$. $ \frac{a^4}{a^5} = a^{4-5} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.

$ \frac{11 \cdot 2b}{a} = \frac{22b}{a} $

Ответ: $ \frac{22b}{a} $

г)

Умножим дроби, перемножив их числители и знаменатели:

$ \frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2} = \frac{4n^2 \cdot 9m}{3m^2 \cdot 2} $

Произведем сокращение. Сократим 4 и 2 на 2, а 9 и 3 на 3:

$ \frac{(2 \cdot \cancel{2})n^2 \cdot (\cancel{3} \cdot 3)m}{\cancel{3}m^2 \cdot \cancel{2}} = \frac{2n^2 \cdot 3m}{m^2} = \frac{6n^2m}{m^2} $

Теперь сократим степени с основанием $m$. $ \frac{m}{m^2} = \frac{1}{m} $:

$ \frac{6n^2\cancel{m}}{m^{\cancel{2}}} = \frac{6n^2}{m} $

Ответ: $ \frac{6n^2}{m} $

113. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 15x² ∙ 76x³;

б) 2516y² ∙ 2y²;

в) 6am² ∙ 4a3m³;

г) 2b5a³ ∙ 10a².

a) $15x^2·\frac{7}{6x^3}=\frac{15x^2·7}{6x^3}=\frac{5·7}{2x}=\frac{35}{2x}$

б) $\frac{25}{16y^2}·2y^2=\frac{25·2y^2}{16y^2}=\frac{25}{8}=3\frac{1}{8}$

в) $6a{m}^2·\frac{4a}{3m^3}=\frac{6a{m}^2·4a}{3m^3}=\frac{2a·4a}{m}=\frac{8a^2}{m}$

г) $\frac{2b}{5a^3}·10a^2=\frac{2b·10a^2}{5a^3}=\frac{2b·2}{a}=\frac{4b}{a}$

а) Чтобы преобразовать выражение в дробь, представим множитель $15x^2$ в виде дроби $\frac{15x^2}{1}$ и выполним умножение дробей:

$15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3} = \frac{15x^2}{1} \cdot \frac{7}{6x^3} = \frac{15x^2 \cdot 7}{6x^3}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общие:

$\frac{15x^2 \cdot 7}{6x^3} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot 7}{(2 \cdot 3) \cdot x^3} = \frac{\cancel{3} \cdot 5 \cdot 7 \cdot x^2}{2 \cdot \cancel{3} \cdot x^3} = \frac{35x^2}{2x^3}$

Сокращаем степени переменной $x$ (общий множитель $x^2$):

$\frac{35x^2}{2x^3} = \frac{35\cancel{x^2}}{2x \cdot \cancel{x^2}} = \frac{35}{2x}$

Ответ: $\frac{35}{2x}$

б) Чтобы преобразовать выражение в дробь, представим множитель $2y^2$ в виде дроби $\frac{2y^2}{1}$ и выполним умножение дробей:

$\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2 = \frac{25}{16y^2} \cdot \frac{2y^2}{1} = \frac{25 \cdot 2y^2}{16y^2}$

Сократим полученную дробь. В числителе и знаменателе есть общий множитель $2y^2$. Сократим на него:

$\frac{25 \cdot 2y^2}{16y^2} = \frac{25 \cdot \cancel{2y^2}}{8 \cdot \cancel{2y^2}} = \frac{25}{8}$

Ответ: $\frac{25}{8}$

в) Представим множитель $6am^2$ в виде дроби $\frac{6am^2}{1}$ и выполним умножение:

$6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3} = \frac{6am^2}{1} \cdot \frac{4a}{3m^3} = \frac{6am^2 \cdot 4a}{3m^3}$

Сократим полученную дробь. Разложим коэффициенты и степени на множители:

$\frac{6 \cdot 4 \cdot a \cdot a \cdot m^2}{3 \cdot m^3} = \frac{24a^2m^2}{3m^3}$

Сократим числовые коэффициенты на $3$ и степени переменной $m$ на $m^2$:

$\frac{\cancel{3} \cdot 8 \cdot a^2 \cdot \cancel{m^2}}{\cancel{3} \cdot m \cdot \cancel{m^2}} = \frac{8a^2}{m}$

Ответ: $\frac{8a^2}{m}$

г) Представим множитель $10a^2$ в виде дроби $\frac{10a^2}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2 = \frac{2b}{5a^3} \cdot \frac{10a^2}{1} = \frac{2b \cdot 10a^2}{5a^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты на $5$ и степени переменной $a$ на $a^2$:

$\frac{2b \cdot (2 \cdot 5) \cdot a^2}{5 \cdot a^3} = \frac{2b \cdot 2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{a^2}}{\cancel{5} \cdot a \cdot \cancel{a^2}} = \frac{4b}{a}$

Ответ: $\frac{4b}{a}$

114. Упростите выражение:

a) 48x⁵49y⁴ ∙ 7y²16x³;

б) 18m³11n³ ∙ 22n⁴9m²;

в) 72x⁴25y⁵ ∙ –2,5y⁴27x⁵;

г) –35ax²12b²y ∙ 8ab21xy.

a) $\frac{48x^5}{49y^4}·\frac{7y^2}{16x^3}=\frac{48x^5·7y^2}{49y^4·16x^3}=\frac{3x^2}{7y^2}$

б) $\frac{18m^3}{11n^3}·\frac{22n^4}{9m^2}=\frac{18m^3·22n^4}{11n^3·9m^2}=\frac{2m·2n}{1}=4mn$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{72x^4}{25y^5}·\left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)=-\frac{72x^4·2,5y^4}{25y^5·27x^5}= \\ =-\frac{8·1}{10y·3x}=-\frac{4}{5y·3x}=-\frac{4}{15xy} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{35a{x}^2}{12b^{2}y}·\frac{8ab}{21xy}=-\frac{35a{x}^2·8ab}{12b^{2}y·21xy}= \\ =-\frac{5ax·2a}{3by·3y}=-\frac{10a^{2}x}{9b{y}^2} \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3}$ перемножим числители и знаменатели дробей, а затем сократим общие множители.
$\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3} = \frac{48x^5 \cdot 7y^2}{49y^4 \cdot 16x^3}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{48 \cdot 7}{49 \cdot 16} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^2}{y^4}$
Сократим числовые коэффициенты: $48$ и $16$ на $16$, $7$ и $49$ на $7$.
$\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$
$\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
Объединим полученные результаты:
$\frac{3}{7} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3x^2}{7y^2}$
Ответ: $\frac{3x^2}{7y^2}$

б) Для упрощения выражения $\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2}$ выполним умножение дробей и сократим.
$\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2} = \frac{18m^3 \cdot 22n^4}{11n^3 \cdot 9m^2}$
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{18 \cdot 22}{11 \cdot 9} \cdot \frac{m^3}{m^2} \cdot \frac{n^4}{n^3}$
Сократим числа: $18$ и $9$ на $9$, $22$ и $11$ на $11$.
$\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$
Сократим переменные:
$\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m$
$\frac{n^4}{n^3} = n^{4-3} = n$
Объединим результаты:
$4 \cdot m \cdot n = 4mn$
Ответ: $4mn$

в) Упростим выражение $\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)$. Результат умножения будет отрицательным.
$-\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \frac{2,5y^4}{27x^5} = -\frac{72 \cdot 2,5 \cdot x^4y^4}{25 \cdot 27 \cdot y^5x^5}$
Представим $2,5$ как $\frac{5}{2}$:
$-\frac{72 \cdot \frac{5}{2}}{25 \cdot 27} \cdot \frac{x^4y^4}{y^5x^5} = -\frac{36 \cdot 5}{25 \cdot 27} \cdot \frac{1}{xy}$
Сократим числовую дробь: $36$ и $27$ на $9$, $5$ и $25$ на $5$.
$-\frac{(4 \cdot 9) \cdot 5}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)} \cdot \frac{1}{xy} = -\frac{4}{5 \cdot 3} \cdot \frac{1}{xy} = -\frac{4}{15xy}$
Ответ: $-\frac{4}{15xy}$

г) Упростим выражение $-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy}$.
$-\frac{35ax^2 \cdot 8ab}{12b^2y \cdot 21xy} = -\frac{35 \cdot 8}{12 \cdot 21} \cdot \frac{a \cdot a \cdot x^2 \cdot b}{b^2 \cdot x \cdot y \cdot y}$
Сократим числовые коэффициенты: $35$ и $21$ на $7$, $8$ и $12$ на $4$.
$-\frac{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4)}{(3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 7)} = -\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 3} = -\frac{10}{9}$
Сократим переменные:
$\frac{a^2 x^2 b}{b^2 x y^2} = \frac{a^2 \cdot x^{2-1}}{b^{2-1} \cdot y^2} = \frac{a^2x}{by^2}$
Объединим результаты:
$-\frac{10}{9} \cdot \frac{a^2x}{by^2} = -\frac{10a^2x}{9by^2}$
Ответ: $-\frac{10a^2x}{9by^2}$