Номер 111, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 111, страница 32.

111. Представьте в виде дроби:

a) 3x4y ∙ 103x²;

б) 2,52a² ∙ 4a³5b²;

в) 7a³24b ∙ 8b²;

г) 14ab ∙ 121b³.

a) $\frac{3x}{4y}·\frac{10}{3x^2}=\frac{3x·10}{4y·3x^2}=\frac{5}{2xy}$

б) $\frac{2,5}{2a^2}·\frac{4a^3}{5b^2}=\frac{2,5·4a^3}{2a^2·5b^2}=\frac{10a^3}{10a^2{b}^2}=\frac{a}{b^2}$

в) $\frac{7a^3}{24b}·8b^2=\frac{7a^3·8b^2}{24b}=\frac{7a^{3}b}{3}$

г) $14ab·\frac{1}{21b^3}=\frac{14ab}{21b^3}=\frac{2a}{3b^2}$

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{3x}{4y} \cdot \frac{10}{3x^2} = \frac{3x \cdot 10}{4y \cdot 3x^2}$

Запишем произведение в виде одной дроби и сгруппируем множители для удобства сокращения:

$\frac{3 \cdot 10 \cdot x}{4 \cdot 3 \cdot y \cdot x^2}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $3$:

$\frac{10 \cdot x}{4 \cdot y \cdot x^2}$

Сократим числовые коэффициенты $10$ и $4$ на их наибольший общий делитель $2$ ($10 = 2 \cdot 5$, $4 = 2 \cdot 2$):

$\frac{5 \cdot x}{2 \cdot y \cdot x^2}$

Сократим дробь на $x$, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ (в данном случае $\frac{x^1}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x}$):

$\frac{5}{2y \cdot x} = \frac{5}{2xy}$

Ответ: $\frac{5}{2xy}$

б) Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{2,5}{2a^2} \cdot \frac{4a^3}{5b^2} = \frac{2,5 \cdot 4a^3}{2a^2 \cdot 5b^2}$

Выполним умножение числовых коэффициентов в числителе и знаменателе:

$2,5 \cdot 4 = 10$

$2 \cdot 5 = 10$

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{10a^3}{10a^2b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $10$:

$\frac{a^3}{a^2b^2}$

Сократим на $a^2$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{3-2}}{b^2} = \frac{a^1}{b^2} = \frac{a}{b^2}$

Ответ: $\frac{a}{b^2}$

в) Представим выражение $8b^2$ в виде дроби $\frac{8b^2}{1}$ и выполним умножение дробей:

$\frac{7a^3}{24b} \cdot 8b^2 = \frac{7a^3}{24b} \cdot \frac{8b^2}{1} = \frac{7a^3 \cdot 8b^2}{24b}$

Сократим числовые коэффициенты $8$ и $24$ на их наибольший общий делитель $8$:

$\frac{7a^3 \cdot b^2}{3b}$

Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$:

$\frac{7a^3 b^{2-1}}{3} = \frac{7a^3 b}{3}$

Ответ: $\frac{7a^3b}{3}$

г) Представим выражение $14ab$ в виде дроби $\frac{14ab}{1}$ и выполним умножение:

$14ab \cdot \frac{1}{21b^3} = \frac{14ab}{1} \cdot \frac{1}{21b^3} = \frac{14ab}{21b^3}$

Сократим числовые коэффициенты $14$ и $21$ на их наибольший общий делитель $7$:

$\frac{2ab}{3b^3}$

Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{b^m}{b^n} = \frac{1}{b^{n-m}}$:

$\frac{2a}{3b^{3-1}} = \frac{2a}{3b^2}$

Ответ: $\frac{2a}{3b^2}$