Страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

132. Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км/ч, а остальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько времени t ч затратил велосипедист на весь путь? Найдите t, если: а) v = 15; б) v = 18.

$$\begin{gathered} t=\frac{30}{v}+\frac{17}{b+2}=\frac{30(v+2)+17v}{v(v+2)}= \\ =\frac{30v+60+17v}{v(v+2)}=\frac{47v+60}{v(v+2)} \end{gathered}$$

а) $v=15,$$t=\frac{47·15+60}{15·(15+2)}=\frac{15·(47+4)}{15·17}=\frac{51}{17}=3\text{ч}$

б) $v=18,$

$$\begin{gathered} t=\frac{47·18+60}{15·(18+2)}=\frac{6(47·3+10)}{18·20}= \\ =\frac{6·(141+10)}{18·20}=\frac{151}{3·20}= \\ =\frac{151}{60}=2\frac{31}{60}=2\text{ч} 31\text{мин} \end{gathered}$$

Общее время в пути $t$ складывается из времени, затраченного на первый участок пути ($t_1$), и времени, затраченного на второй участок пути ($t_2$).

Время на первом участке: $S_1 = 30$ км, скорость $v_1 = v$ км/ч.
$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{30}{v}$ ч.

Время на втором участке: $S_2 = 17$ км, скорость $v_2 = v + 2$ км/ч.
$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{17}{v+2}$ ч.

Общее время в пути $t$ равно сумме $t_1$ и $t_2$:
$t = t_1 + t_2 = \frac{30}{v} + \frac{17}{v+2}$.

Теперь найдем значение $t$ для каждого случая.

а) Если $v = 15$ км/ч, подставим это значение в формулу для $t$:
$t = \frac{30}{15} + \frac{17}{15+2} = 2 + \frac{17}{17} = 2 + 1 = 3$ ч.
Ответ: 3 ч.

б) Если $v = 18$ км/ч, подставим это значение в формулу для $t$:
$t = \frac{30}{18} + \frac{17}{18+2} = \frac{5}{3} + \frac{17}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$t = \frac{5 \cdot 20}{3 \cdot 20} + \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{100}{60} + \frac{51}{60} = \frac{100+51}{60} = \frac{151}{60} = 2\frac{31}{60}$ ч.
Это составляет 2 часа и 31 минуту.
Ответ: $2\frac{31}{60}$ ч.

133. Выразите х через а и b:

а) 3x + b = a;

б) b – 7x = a – b;

в) xa + 1 = b;

г) b - x10 = a.

a) $3x+b=a$
$$\begin{gathered} 3x=a-b \\ x=\frac{a-b}{3} \end{gathered}$$

б) $b-7x=a-b$
$$\begin{gathered} 7x=b-(a-b) \\ 7x=b-a+b \\ x=\frac{2b-a}{7} \end{gathered}$$

в) $\frac{x}{a}+1=b$
$$\begin{gathered} \frac{x}{a}=b-1 \\ x=a(b-1) \\ x=ab-a \end{gathered}$$

г) $b-\frac{x}{10}=a$
$$\begin{gathered} \frac{x}{10}=b-a \\ x=10(b-a) \\ x=10b-10a \end{gathered}$$

a) Исходное уравнение: $3x + b = a$.

Чтобы выразить переменную $x$, необходимо изолировать ее в одной части уравнения. Сначала перенесем слагаемое $b$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$3x = a - b$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{a - b}{3}$

Ответ: $x = \frac{a - b}{3}$

б) Исходное уравнение: $b - 7x = a - b$.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой. Для этого оставим $-7x$ слева, а $b$ перенесем в правую часть с противоположным знаком:

$-7x = a - b - b$

Упростим правую часть уравнения:

$-7x = a - 2b$

Теперь разделим обе части уравнения на -7. Чтобы сделать выражение более удобным, можно поменять знаки и в числителе, и в знаменателе:

$x = \frac{a - 2b}{-7} = \frac{-(a - 2b)}{7} = \frac{2b - a}{7}$

Ответ: $x = \frac{2b - a}{7}$

в) Исходное уравнение: $\frac{x}{a} + 1 = b$.

Сначала перенесем 1 из левой части уравнения в правую, изменив знак:

$\frac{x}{a} = b - 1$

Теперь, чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на знаменатель $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$x = a(b - 1)$

Ответ: $x = a(b - 1)$

г) Исходное уравнение: $b - \frac{x}{10} = a$.

Чтобы изолировать член с $x$, перенесем $b$ в правую часть:

$-\frac{x}{10} = a - b$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса в левой части. При этом знаки в правой части изменятся на противоположные:

$\frac{x}{10} = -(a - b) = b - a$

Теперь умножим обе части на 10, чтобы найти $x$:

$x = 10(b - a)$

Ответ: $x = 10(b - a)$