Страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

154. Выполните действия:

a) $\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}=\frac{(a-5)(a+5)}{(a+3)a(a+5)}-$
$$\begin{gathered} -\frac{a+5}{a(a-3)}=\frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)}= \\ =\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}= \\ =\frac{a^2-3a-5a+15-(a^2+3a+5a+15)}{a(a+3)(a-3)}= \\ =\frac{-16a}{a(a+3)(a-3)}=-\frac{16}{a^2-9}=\frac{16}{9-a^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}=\frac{6x-1}{4x^2-1}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}=\frac{x(x+3)·2(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)·(3+x)}= \\ =\frac{2x}{2x-1} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1}= \\ =\frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}= \\ =\frac{2x-1-4x^2+2x+4x^2+2x}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{6x-1}{4x^2-1} \end{gathered}$$

в) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}·\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=-\frac{c}{a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{ab-b^2}{a^2-ac}·\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}= \\ =\frac{b\left(\bcancel{a-b}\right)·\left(\cancel{a-c}\right)(a+c)}{a\left(\cancel{a-c}\right)·\left(\bcancel{a-b}\right)(a+b)}=\frac{b(a+c)}{a(a+b)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}= \\ =\frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)}=\frac{-(ac+bc)}{a(a+b)}= \\ =\frac{-c(a+b)}{a(a+b)}=-\frac{c}{a} \end{gathered}$$

г) $\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}=\frac{2a+2y}{ax-3a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}= \\ =\frac{\left(\bcancel{a-2}\right)(a+2)·y\left(\cancel{x+3}\right)}{(x-3)\left(\cancel{x+3}\right)·a\left(\bcancel{a-2}\right)}=\frac{y(a+2)}{a(x-3)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{y(a+2)}{a(x-3)}+\frac{2-y}{x-3}=\frac{y(a+2)+a(2-y)}{a(x-3)}= \\ =\frac{ay+2y+2a-ay}{a(x-3)}=\frac{2a+2y}{ax-3a} \end{gathered}$$

а) $ \frac{a^2-25}{a+3} \cdot \frac{1}{a^2+5a} - \frac{a+5}{a^2-3a} $
В первую очередь выполним умножение, а затем вычитание. Для этого разложим выражения в числителях и знаменателях на множители:
$ a^2-25 = (a-5)(a+5) $
$ a^2+5a = a(a+5) $
$ a^2-3a = a(a-3) $
Подставим разложенные на множители выражения обратно в пример:
$ \frac{(a-5)(a+5)}{a+3} \cdot \frac{1}{a(a+5)} - \frac{a+5}{a(a-3)} $
Сократим дробь в первом члене на $ (a+5) $:
$ \frac{a-5}{a+3} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a(a-3)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ a(a+3)(a-3) $:
$ \frac{(a-5)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} - \frac{(a+5)(a+3)}{a(a-3)(a+3)} $
Запишем под общей чертой и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{(a^2-3a-5a+15) - (a^2+3a+5a+15)}{a(a+3)(a-3)} = \frac{(a^2-8a+15) - (a^2+8a+15)}{a(a^2-9)} $
Упростим числитель:
$ \frac{a^2-8a+15-a^2-8a-15}{a(a^2-9)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)} $
Сократим дробь на $ a $:
$ \frac{-16}{a^2-9} = -\frac{16}{a^2-9} $
Ответ: $ -\frac{16}{a^2-9} $

б) $ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x^2+3x}{4x^2-1} : \frac{3+x}{4x+2} $
Сначала выполним деление, затем сложение. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x^2+3x}{4x^2-1} \cdot \frac{4x+2}{3+x} $
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ x^2+3x = x(x+3) $
$ 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) $
$ 4x+2 = 2(2x+1) $
Подставим в выражение:
$ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{2(2x+1)}{x+3} $
Сократим общие множители $ (x+3) $ и $ (2x+1) $ во втором слагаемом:
$ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x}{(2x-1)} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{2x}{2x-1} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (2x+1)(2x-1) = 4x^2-1 $:
$ \frac{(1-2x)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} + \frac{2x(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} $
Вынесем знак минус в первой дроби: $ (1-2x) = -(2x-1) $.
$ \frac{-(2x-1)(2x-1) + 2x(2x+1)}{4x^2-1} = \frac{-(2x-1)^2 + 4x^2+2x}{4x^2-1} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{-(4x^2-4x+1) + 4x^2+2x}{4x^2-1} = \frac{-4x^2+4x-1+4x^2+2x}{4x^2-1} = \frac{6x-1}{4x^2-1} $
Ответ: $ \frac{6x-1}{4x^2-1} $

в) $ \frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2} $
Сначала выполним умножение. Разложим числители и знаменатели на множители:
$ ab-b^2 = b(a-b) $
$ a^2-ac = a(a-c) $
$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $
$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $
Подставим в произведение:
$ \frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)} $
Сократим общие множители $ (a-b) $ и $ (a-c) $:
$ \frac{b}{a} \cdot \frac{a+c}{a+b} = \frac{b(a+c)}{a(a+b)} $
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a+b) $:
$ \frac{a(b-c)}{a(a+b)} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} = \frac{a(b-c) - b(a+c)}{a(a+b)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)} = \frac{-ac-bc}{a(a+b)} $
Вынесем общий множитель $ -c $ в числителе:
$ \frac{-c(a+b)}{a(a+b)} $
Сократим дробь на $ (a+b) $:
$ \frac{-c}{a} = -\frac{c}{a} $
Ответ: $ -\frac{c}{a} $

г) $ \frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} + \frac{2-y}{x-3} $
Сначала выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^2-4}{x^2-9} \cdot \frac{xy+3y}{a^2-2a} + \frac{2-y}{x-3} $
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $
$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $
$ xy+3y = y(x+3) $
$ a^2-2a = a(a-2) $
Подставим в выражение:
$ \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{a(a-2)} + \frac{2-y}{x-3} $
Сократим общие множители $ (a-2) $ и $ (x+3) $:
$ \frac{a+2}{x-3} \cdot \frac{y}{a} + \frac{2-y}{x-3} = \frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{2-y}{x-3} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ a(x-3) $:
$ \frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{a(2-y)}{a(x-3)} $
Запишем под общей чертой и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{ay+2y+2a-ay}{a(x-3)} = \frac{2y+2a}{a(x-3)} $
Вынесем общий множитель $ 2 $ в числителе:
$ \frac{2(y+a)}{a(x-3)} $
Ответ: $ \frac{2(a+y)}{a(x-3)} $

155. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}(a^2+2a+1)·\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\right)= \\ -\frac{a+1}{a-1}=\frac{a+1}{1-a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}=\frac{a-1+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}= \\ =\frac{a-a-1}{(a-1)(a+1)}=-\frac{1}{(a-1)(a+1)} \\ 2) (a^2+2a+1)·\left(-\frac{1}{(a-1)(a+1)}\right)= \\ =-\frac{{(a+1)}^2}{(a-1)(a+1)}=-\frac{a+1}{a-1} \end{gathered}$$

б) $\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)+1=\frac{3x}{2}$

$$\begin{gathered} 1) 1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}= \\ =\frac{-(9x^2-12x+4)}{12x}=\frac{{(3x-2)}^2}{12x} \\ 2) \frac{1}{3x}-\frac{1}{2}=\frac{2-3x}{6x} \\ 3) -\frac{{(3x-2)}^2}{12x}:\frac{2-3x}{6x}=-\frac{{(3x-2)}^2·6x}{12x·(-(3x-2\left)\right)}= \\ =\frac{3x-2}{2} \\ 4) \frac{3x-2}{2}+1=\frac{3x-2+2}{2}=\frac{3x}{2} \end{gathered}$$

в) $1-\left(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\right)·\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)=\frac{a}{a+2}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{2a+4-2a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{8}{(a-2)(a+2)} \\ 2) a-\frac{3a+2}{4}=\frac{4a-3a-2}{4}=\frac{a-2}{4} \\ 3) \frac{8}{(a-2)(a+2)}·\frac{a-2}{4}=\frac{2}{a+2} \\ 4) 1-\frac{2}{a+2}=\frac{a+2-2}{a+2}=\frac{a}{a+2} \end{gathered}$$

г) $(y^2-4)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right)+5=y-5$

$$\begin{gathered} 1) \frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}=\frac{3(y-2)-2(y+2)}{(y+2)(y-2)}= \\ =\frac{3y-6-2y-4}{(y+2)(y-2)}=\frac{y-10}{(y+2)(y-2)} \\ 2) (y^2-4)·\frac{y-10}{y^2-4}=y-10 \\ 3) y-10+5=y-5 \end{gathered}$$

а)

Для упрощения выражения $(a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right)$ выполним действия по шагам.

1. Заметим, что первый множитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.

2. Упростим выражение во второй скобке. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $a^2-1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Это и будет общий знаменатель.

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)}$

$= \frac{a-1}{a^2-1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{a+1}{a^2-1} = \frac{(a-1) + 1 - (a+1)}{a^2-1} = \frac{a-1+1-a-1}{a^2-1} = \frac{-1}{a^2-1}$.

3. Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$(a+1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{a^2-1}\right) = (a+1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{(a-1)(a+1)}\right)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$:

$\frac{(a+1) \cdot (-1)}{a-1} = \frac{-(a+1)}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1}$.

Ответ: $-\frac{a+1}{a-1}$.

б)

Для упрощения выражения $\left(1 - \frac{9x^2+4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}\right) + 1$ выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $12x$:

$1 - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x}{12x} - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x - (9x^2+4)}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = \frac{-(9x^2 - 12x + 4)}{12x}$.

Выражение в числителе $9x^2 - 12x + 4$ является полным квадратом разности: $(3x-2)^2$.

Таким образом, выражение в первых скобках равно $\frac{-(3x-2)^2}{12x}$.

2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3x}$ и $\frac{1}{2}$ равен $6x$.

$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3x \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3x}{2 \cdot 3x} = \frac{2-3x}{6x} = \frac{-(3x-2)}{6x}$.

3. Выполним деление:

$\frac{-(3x-2)^2}{12x} : \frac{-(3x-2)}{6x} = \frac{-(3x-2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x-2)}$.

Сократим отрицательные знаки, а также общие множители $6x$ и $(3x-2)$:

$\frac{(3x-2)^2 \cdot 6x}{12x \cdot (3x-2)} = \frac{3x-2}{2}$.

4. Добавим 1 к полученному результату:

$\frac{3x-2}{2} + 1 = \frac{3x-2}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3x-2+2}{2} = \frac{3x}{2}$.

Ответ: $\frac{3x}{2}$.

в)

Упростим выражение $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right)$, следуя порядку действий.

1. Выполним вычитание в первых скобках. Общий знаменатель $(a-2)(a+2) = a^2-4$.

$\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a+4 - 2a+4}{a^2-4} = \frac{8}{a^2-4}$.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$a - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a}{4} - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a - (3a+2)}{4} = \frac{4a-3a-2}{4} = \frac{a-2}{4}$.

3. Теперь перемножим результаты шагов 1 и 2:

$\frac{8}{a^2-4} \cdot \frac{a-2}{4} = \frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4}$.

Сократим дробь на 4 и на $(a-2)$:

$\frac{2 \cdot 4}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4} = \frac{2}{a+2}$.

4. Выполним вычитание из 1:

$1 - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2}{a+2} - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2-2}{a+2} = \frac{a}{a+2}$.

Ответ: $\frac{a}{a+2}$.

г)

Упростим выражение $(y^2-4)\left(\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2}\right) + 5$.

1. Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(y+2)(y-2) = y^2-4$.

$\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2} = \frac{3(y-2) - 2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{3y-6 - (2y+4)}{y^2-4} = \frac{3y-6-2y-4}{y^2-4} = \frac{y-10}{y^2-4}$.

2. Теперь умножим полученную дробь на $(y^2-4)$:

$(y^2-4) \cdot \frac{y-10}{y^2-4}$.

Сократим на $(y^2-4)$, при условии что $y^2-4 \neq 0$ (т.е. $y \neq \pm 2$):

$y-10$.

3. В конце добавим 5 к полученному результату:

$(y-10) + 5 = y - 5$.

Ответ: $y-5$.

156. Выполните действия:

a) $\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)=1$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y(x-y)} \\ 2) x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}= \\ =\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}=\frac{xy-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y} \\ 3) \frac{x+y}{y(x-y)}·\frac{y(x-y)}{x+y}=1 \end{gathered}$$

б) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)=a$

$$\begin{gathered} 1) a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-2ab}{a+b}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b} \\ 2) \frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}= \\ =\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \\ 3) \frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=\frac{(a^2+b^2)·a(a+b)}{(a+b)·(a^2+b^2)}=a \end{gathered}$$

в) $(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right)=x^2+1$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1= \\ =\frac{x+1-(x-1)+(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{x+1-x+1+x^2-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x^2-1} \\ 2) (x^2-1)·\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1 \end{gathered}$$

г) $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)=-m$

$$\begin{gathered} 1) m+1-\frac{1}{1-m}=\frac{(m+1)(1-m)-1}{1-m}= \\ =\frac{1-m^2-1}{1-m}=-\frac{m^2}{1-m} \\ 2) m-\frac{m^2}{m-1}=\frac{m(m-1)-m^2}{m-1}=\frac{m^2-m-m^2}{m-1}= \\ =-\frac{m}{m-1} \\ 3)-\frac{m^2}{1-m}:\left(-\frac{m}{m-1}\right)=\frac{m^2}{1-m}·\frac{m-1}{m}= \\ =\frac{m^2(m-1)}{-(m-1)·m}=-m \end{gathered}$$

а) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}\right)\left(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $y(x-y)$:

$\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)} + \frac{2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $x+y$:

$x - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x^2+xy - (x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy - x^2 - y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$

Сокращаем $y(x-y)$ в числителе и знаменателе, а также $(x+y)$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $1$

б) $\left(a+b - \frac{2ab}{a+b}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}\right)$

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое). Общий знаменатель $a+b$:

$a+b - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Общий знаменатель $a(a+b)$:

$\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b)}{a(a+b)} + \frac{b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

3. Выполним деление:

$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2} = a$

Сокращаем $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$.

Ответ: $a$

в) $\left(x^2-1\right)\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right)$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1 = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1 \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 - (x-1) + x^2-1}{x^2-1} = \frac{x+1-x+1+x^2-1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}$

2. Теперь умножим полученное выражение на $(x^2-1)$:

$(x^2-1) \cdot \frac{x^2+1}{x^2-1} = x^2+1$

Сокращаем множитель $(x^2-1)$ и знаменатель.

Ответ: $x^2+1$

г) $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m-1}\right)$

1. Упростим делимое. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, тогда $\frac{1}{1-m} = -\frac{1}{m-1}$.

$m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1} = \frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$

2. Упростим делитель. Приведем к общему знаменателю $m-1$:

$m - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$

3. Выполним деление:

$\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1} = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2}{-m} = -m$

Сокращаем $(m-1)$ и одну степень $m$.

Ответ: $-m$

157. Упростите выражение:

a) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)=2x^2+2xy$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}=\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{1}{(y-x)(y+x)}+\frac{1}{{(x+y)}^2}\frac{x+y+y-x}{(y-x){(x+y)}^2}= \\ =\frac{2y}{(y-x){(x+y)}^2} \\ 2) \frac{4xy}{y^2-x^2}:\frac{2y}{(y-x){(x+y)}^2}=\frac{4xy·(y-x){(x+y)}^2}{(y-x)(y+x)·2y}= \\ =2x(x+y)=2x^2+2xy \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{{(2y-x)}^2}\right)·\frac{{(x+2y)}^2}{4y^2}=\frac{x-2y}{2xy}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{{(2y-x)}^2}=\frac{1·{(x-2y)}^2}{(x-2y)(x+2y)(x+2y)}= \\ =\frac{x-2y}{{(x+2y)}^2} \\ 2) \frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{x-2y}{{(x+2y)}^2}=\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{{(x+2y)}^2}= \\ =\frac{(x-2y)(x+2y)-x(x-2y)}{x{(x+2y)}^2}= \\ =\frac{x^2-4y^2-x^2+2xy}{x{(x+2y)}^2}=\frac{-4y^2+2xy}{x{(x+2y)}^2}=\frac{2y(x-2y)}{x{(x+2y)}^2} \\ 3) \frac{2y(x-2y)}{x{(x+2y)}^2}·\frac{{(x+2y)}^2}{4y^2}=\frac{2y(x-2y)}{4x{y}^2}=\frac{x-2y}{2xy} \end{gathered}$$

Рассмотрим выражение $ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : (\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}) $.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и квадрат суммы $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.
$ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) $
$ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 $

Теперь выражение в скобках имеет вид: $ \frac{1}{(y - x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^2} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю $ (y - x)(y + x)^2 $:
$ \frac{1 \cdot (y + x)}{(y - x)(y + x)^2} + \frac{1 \cdot (y - x)}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{(y + x) + (y - x)}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2} $

3. Теперь выполним деление. Заменим делитель на результат, полученный в шаге 2.
$ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} \cdot \frac{(y - x)(y + x)^2}{2y} $

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $ (y-x) $, $ (y+x) $ и $ 2y $.
$ \frac{2x \cdot \cancel{4xy}}{\cancel{(y-x)}\cancel{(y+x)}} \cdot \frac{\cancel{(y-x)}(y+x)^{\cancel{2}}}{\cancel{2y}} = 2x(y+x) $

Ответ: $2x(y+x)$

Рассмотрим выражение $ (\frac{x - 2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} \cdot \frac{x + 2y}{(2y - x)^2}) \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2} $.

Примечание: В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Для получения упрощенного ответа, что обычно предполагается в таких заданиях, знак умножения внутри скобок следует рассматривать как знак деления. Ниже приведено решение для этого случая.

1. Упростим выражение в скобках, заменив умножение на деление: $ \frac{x - 2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2} $.
Сначала выполним деление. Разложим знаменатели на множители:
$ x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y) $
$ (2y - x)^2 = (-(x - 2y))^2 = (x - 2y)^2 $
$ \frac{1}{(x - 2y)(x + 2y)} : \frac{x + 2y}{(x - 2y)^2} = \frac{1}{(x - 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{(x - 2y)^2}{x + 2y} = \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2} $

2. Теперь выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатель первой дроби $ x^2 + 2xy = x(x+2y) $.
$ \frac{x - 2y}{x(x + 2y)} - \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2} $
Вынесем общий множитель $ (x - 2y) $ за скобки:
$ (x - 2y) \left( \frac{1}{x(x + 2y)} - \frac{1}{(x + 2y)^2} \right) $
Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю $ x(x + 2y)^2 $:
$ (x - 2y) \left( \frac{x + 2y - x}{x(x + 2y)^2} \right) = (x - 2y) \cdot \frac{2y}{x(x + 2y)^2} = \frac{2y(x - 2y)}{x(x + 2y)^2} $

3. Умножим полученный результат на выражение за скобками:
$ \frac{2y(x - 2y)}{x(x + 2y)^2} \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2} $
Сократим общие множители $ (x+2y)^2 $ и $ 2y $:
$ \frac{\cancel{2y}(x - 2y)}{x \cdot \cancel{(x+2y)^2}} \cdot \frac{\cancel{(x+2y)^2}}{\cancel{4y^2} \cdot 2y} = \frac{x - 2y}{2xy} $

Ответ: $\frac{x-2y}{2xy}$

158. Представьте в виде дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x+2}{x^2-2x+1}·\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}= \\ =\frac{x+2}{{(x-1)}^2}·\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}-\frac{3}{x-2}= \\ =\frac{3}{(x-1)(x-2)}-\frac{3}{x-2}=\frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{3-3x+3}{(x-1)(x-2)}=\frac{6-3x}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)}= \\ =-\frac{3}{x-1}=\frac{3}{1-x} \end{gathered}$$

б) $\frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\left(\frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}\right)=$
$=\frac{a}{4a+8}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}= \\ =\frac{a}{2(a-2)}-\frac{a^2+4}{2(a^2-4)}-\frac{2}{a(a+2)}= \\ =\frac{a^2(a+2)-a(a^2+4)-2·2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^3+2a^2-a^3-4a-4a+8}{2a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{2a^2-8a+8}{2a(a-2)(a+2)}=\frac{2(a^2-4a+4)}{2a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{{(a-2)}^2}{a(a-2)(a+2)}=\frac{a-2}{a(a+2)} \\ 2) \frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\frac{a-2}{a(a+2)}= \\ =\frac{a-2}{{(2a+4)}^2}·\frac{a(a+2)}{a-2}=\frac{a(a+2)}{(2{(a+2))}^2}= \\ =\frac{a(a+2)}{4{(a+2)}^2}=\frac{a}{4(a+2)}=\frac{a}{4a+8} \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы представить выражение в виде дроби, сначала выполним умножение, а затем вычитание. $$ \frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} $$ 1. Выполним умножение дробей.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей, входящих в произведение:
$x^2-2x+1 = (x-1)^2$ (формула квадрата разности).
$3x-3 = 3(x-1)$ (вынесение общего множителя за скобки).
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (формула разности квадратов).
Подставим полученные выражения в произведение и сократим: $$ \frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{\cancel{x+2}}{(x-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3(\cancel{x-1})}{(x-2)(\cancel{x+2})} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} $$ 2. Выполним вычитание.
Полученное после умножения выражение вычтем из него вторую дробь: $$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-1)$: $$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$ Теперь выполним вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений: $$ \frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)} $$ Вынесем в числителе общий множитель 3, а затем -1, чтобы получить выражение, которое можно сократить: $$ \frac{3(2 - x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x - 2)}{(x-1)(x-2)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x-2)$: $$ \frac{-3}{x-1} $$
Ответ: $\frac{-3}{x-1}$

б)

Для упрощения данного выражения сначала выполним действия в скобках, а затем деление. $$ \frac{a-2}{4a^2+16a+16} : \left( \frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a} \right) $$ 1. Упростим выражение в скобках.
Разложим знаменатели каждой дроби на множители:
$2a-4 = 2(a-2)$.
$2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2)$.
$a^2+2a = a(a+2)$.
Выражение в скобках примет вид: $$ \frac{a}{2(a-2)} - \frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} - \frac{2}{a(a+2)} $$ Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $2a(a-2)(a+2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю: $$ \frac{a \cdot a(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a^2+4) \cdot a}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{2 \cdot 2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} $$ Объединим дроби, выполнив действия в числителе: $$ \frac{a^2(a+2) - a(a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{a^3+2a^2 - a^3-4a - 4a+8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2a^2 - 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)} $$ В числителе вынесем за скобки 2 и применим формулу квадрата разности: $$ \frac{2(a^2 - 4a + 4)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2(a-2)^2}{2a(a-2)(a+2)} $$ Сократим общие множители 2 и $(a-2)$: $$ \frac{\cancel{2}(\cancel{a-2})(a-2)}{\cancel{2}a(\cancel{a-2})(a+2)} = \frac{a-2}{a(a+2)} $$ 2. Выполним деление.
Разложим знаменатель делимого: $4a^2+16a+16 = 4(a^2+4a+4) = 4(a+2)^2$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} : \frac{a-2}{a(a+2)} $$ Заменим деление на умножение на обратную дробь: $$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{a-2} $$ Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+2)$: $$ \frac{\cancel{a-2}}{4(a+2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{a-2}} = \frac{a}{4(a+2)} $$
Ответ: $\frac{a}{4(a+2)}$