Номер 158, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 158, страница 42.

158. Представьте в виде дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x+2}{x^2-2x+1}·\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}= \\ =\frac{x+2}{{(x-1)}^2}·\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}-\frac{3}{x-2}= \\ =\frac{3}{(x-1)(x-2)}-\frac{3}{x-2}=\frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{3-3x+3}{(x-1)(x-2)}=\frac{6-3x}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)}= \\ =-\frac{3}{x-1}=\frac{3}{1-x} \end{gathered}$$

б) $\frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\left(\frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}\right)=$
$=\frac{a}{4a+8}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}= \\ =\frac{a}{2(a-2)}-\frac{a^2+4}{2(a^2-4)}-\frac{2}{a(a+2)}= \\ =\frac{a^2(a+2)-a(a^2+4)-2·2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^3+2a^2-a^3-4a-4a+8}{2a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{2a^2-8a+8}{2a(a-2)(a+2)}=\frac{2(a^2-4a+4)}{2a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{{(a-2)}^2}{a(a-2)(a+2)}=\frac{a-2}{a(a+2)} \\ 2) \frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\frac{a-2}{a(a+2)}= \\ =\frac{a-2}{{(2a+4)}^2}·\frac{a(a+2)}{a-2}=\frac{a(a+2)}{(2{(a+2))}^2}= \\ =\frac{a(a+2)}{4{(a+2)}^2}=\frac{a}{4(a+2)}=\frac{a}{4a+8} \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы представить выражение в виде дроби, сначала выполним умножение, а затем вычитание. $$ \frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} $$ 1. Выполним умножение дробей.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей, входящих в произведение:
$x^2-2x+1 = (x-1)^2$ (формула квадрата разности).
$3x-3 = 3(x-1)$ (вынесение общего множителя за скобки).
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (формула разности квадратов).
Подставим полученные выражения в произведение и сократим: $$ \frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{\cancel{x+2}}{(x-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3(\cancel{x-1})}{(x-2)(\cancel{x+2})} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} $$ 2. Выполним вычитание.
Полученное после умножения выражение вычтем из него вторую дробь: $$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-1)$: $$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$ Теперь выполним вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений: $$ \frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)} $$ Вынесем в числителе общий множитель 3, а затем -1, чтобы получить выражение, которое можно сократить: $$ \frac{3(2 - x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x - 2)}{(x-1)(x-2)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x-2)$: $$ \frac{-3}{x-1} $$
Ответ: $\frac{-3}{x-1}$

б)

Для упрощения данного выражения сначала выполним действия в скобках, а затем деление. $$ \frac{a-2}{4a^2+16a+16} : \left( \frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a} \right) $$ 1. Упростим выражение в скобках.
Разложим знаменатели каждой дроби на множители:
$2a-4 = 2(a-2)$.
$2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2)$.
$a^2+2a = a(a+2)$.
Выражение в скобках примет вид: $$ \frac{a}{2(a-2)} - \frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} - \frac{2}{a(a+2)} $$ Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $2a(a-2)(a+2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю: $$ \frac{a \cdot a(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a^2+4) \cdot a}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{2 \cdot 2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} $$ Объединим дроби, выполнив действия в числителе: $$ \frac{a^2(a+2) - a(a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{a^3+2a^2 - a^3-4a - 4a+8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2a^2 - 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)} $$ В числителе вынесем за скобки 2 и применим формулу квадрата разности: $$ \frac{2(a^2 - 4a + 4)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2(a-2)^2}{2a(a-2)(a+2)} $$ Сократим общие множители 2 и $(a-2)$: $$ \frac{\cancel{2}(\cancel{a-2})(a-2)}{\cancel{2}a(\cancel{a-2})(a+2)} = \frac{a-2}{a(a+2)} $$ 2. Выполним деление.
Разложим знаменатель делимого: $4a^2+16a+16 = 4(a^2+4a+4) = 4(a+2)^2$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} : \frac{a-2}{a(a+2)} $$ Заменим деление на умножение на обратную дробь: $$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{a-2} $$ Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+2)$: $$ \frac{\cancel{a-2}}{4(a+2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{a-2}} = \frac{a}{4(a+2)} $$
Ответ: $\frac{a}{4(a+2)}$