Номер 153, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 153, страница 41.

153. Выполните действия:

a) $\frac{a^2-9}{2a^2+1}·\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)=6$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}= \\ =\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)}= \\ =\frac{6a^2+18a+a+3+6a^2-18a-a+3}{(a-3)(a+3)}= \\ =\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{a^2-9}{2a^2+1}·\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)}= \\ =\frac{(a-3)(a+3)·6(2a^2+1)}{(2a^2+1)(a-3)(a+3)}=6 \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=10$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}= \\ =\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)}= \\ =\frac{5x^2+25xy+xy+5y^2+5x^2-25xy-xy+5y^2}{(x-5y)(x+5y)}= \\ =\frac{10x^2+10y^2}{(x-5y)(x+5y)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\frac{10x^2+10y^2}{(x-5y)(x+5y)}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}= \\ =\frac{10(x^2+y^2)·(x^2-25y^2)}{(x^2-25y^2)·(x^2+y^2)}=10 \end{gathered}$$

а)
1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$.
$\frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3} = \frac{(6a + 1)(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{(6a - 1)(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}$
Теперь сложим числители, раскрыв скобки:
$\frac{(6a^2 + 18a + a + 3) + (6a^2 - 18a - a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{6a^2 + 19a + 3 + 6a^2 - 19a + 3}{a^2 - 9} = \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$\frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}$
2. Теперь подставим полученное выражение в исходное и выполним умножение:
$\frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}$
3. Сократим одинаковые множители $(a^2 - 9)$ и $(2a^2 + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a^2 - 9}}{\cancel{2a^2 + 1}} \cdot \frac{6(\cancel{2a^2 + 1})}{\cancel{a^2 - 9}} = 6$
Ответ: 6

б)
1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общим знаменателем будет $(x-5y)(x+5y) = x^2 - 25y^2$.
$\frac{5x + y}{x - 5y} + \frac{5x - y}{x + 5y} = \frac{(5x + y)(x + 5y)}{(x - 5y)(x + 5y)} + \frac{(5x - y)(x - 5y)}{(x - 5y)(x + 5y)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{(5x^2 + 25xy + xy + 5y^2) + (5x^2 - 25xy - xy + 5y^2)}{x^2 - 25y^2} = \frac{5x^2 + 26xy + 5y^2 + 5x^2 - 26xy + 5y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 - 25y^2}$
Вынесем общий множитель 10 в числителе:
$\frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2}$
2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} \cdot \frac{x^2 - 25y^2}{x^2 + y^2}$
3. Сократим одинаковые множители $(x^2 + y^2)$ и $(x^2 - 25y^2)$:
$\frac{10(\cancel{x^2 + y^2})}{(\cancel{x^2 - 25y^2})} \cdot \frac{(\cancel{x^2 - 25y^2})}{(\cancel{x^2 + y^2})} = 10$
Ответ: 10