Номер 156, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 156, страница 42.

156. Выполните действия:

a) $\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)=1$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y(x-y)} \\ 2) x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}= \\ =\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}=\frac{xy-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y} \\ 3) \frac{x+y}{y(x-y)}·\frac{y(x-y)}{x+y}=1 \end{gathered}$$

б) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)=a$

$$\begin{gathered} 1) a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-2ab}{a+b}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b} \\ 2) \frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}= \\ =\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \\ 3) \frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=\frac{(a^2+b^2)·a(a+b)}{(a+b)·(a^2+b^2)}=a \end{gathered}$$

в) $(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right)=x^2+1$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1= \\ =\frac{x+1-(x-1)+(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{x+1-x+1+x^2-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x^2-1} \\ 2) (x^2-1)·\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1 \end{gathered}$$

г) $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)=-m$

$$\begin{gathered} 1) m+1-\frac{1}{1-m}=\frac{(m+1)(1-m)-1}{1-m}= \\ =\frac{1-m^2-1}{1-m}=-\frac{m^2}{1-m} \\ 2) m-\frac{m^2}{m-1}=\frac{m(m-1)-m^2}{m-1}=\frac{m^2-m-m^2}{m-1}= \\ =-\frac{m}{m-1} \\ 3)-\frac{m^2}{1-m}:\left(-\frac{m}{m-1}\right)=\frac{m^2}{1-m}·\frac{m-1}{m}= \\ =\frac{m^2(m-1)}{-(m-1)·m}=-m \end{gathered}$$

а) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}\right)\left(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $y(x-y)$:

$\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)} + \frac{2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $x+y$:

$x - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x^2+xy - (x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy - x^2 - y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$

Сокращаем $y(x-y)$ в числителе и знаменателе, а также $(x+y)$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $1$

б) $\left(a+b - \frac{2ab}{a+b}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}\right)$

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое). Общий знаменатель $a+b$:

$a+b - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Общий знаменатель $a(a+b)$:

$\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b)}{a(a+b)} + \frac{b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

3. Выполним деление:

$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2} = a$

Сокращаем $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$.

Ответ: $a$

в) $\left(x^2-1\right)\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right)$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1 = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1 \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 - (x-1) + x^2-1}{x^2-1} = \frac{x+1-x+1+x^2-1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}$

2. Теперь умножим полученное выражение на $(x^2-1)$:

$(x^2-1) \cdot \frac{x^2+1}{x^2-1} = x^2+1$

Сокращаем множитель $(x^2-1)$ и знаменатель.

Ответ: $x^2+1$

г) $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m-1}\right)$

1. Упростим делимое. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, тогда $\frac{1}{1-m} = -\frac{1}{m-1}$.

$m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1} = \frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$

2. Упростим делитель. Приведем к общему знаменателю $m-1$:

$m - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$

3. Выполним деление:

$\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1} = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2}{-m} = -m$

Сокращаем $(m-1)$ и одну степень $m$.

Ответ: $-m$