Номер 151, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 151, страница 41.

151. Выполните действия:

a) $\left(\frac{x}{x+1}+1\right)·\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1} \\ 2) \frac{2x+1}{x+1}·\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{5y^2}{1-y^2}\right):\left(1-\frac{1}{1-y}\right)=-\frac{5y}{1+y}$

$$\begin{gathered} 1) 1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y} \\ 2) \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right)=-\frac{5y^2·(1-y)}{(1-y)(1+y)y}=-\frac{5y}{1+y} \end{gathered}$$

в) $\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}·\frac{a-2}{a+2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{4a-2a+a^2}{2-a}·\frac{a-2}{a+2}=\frac{a^2+2a}{-(a-2)}·\frac{a-2}{a+2}= \\ =-\frac{a(a+2)}{a+2}=-a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-2}{x-3}·\left(x+\frac{x}{2-x}\right)=\frac{x-2}{x-3}·\frac{x(2-x)+x}{2-x}= \\ =\frac{-(2-x)}{x-3}·\frac{2x-x^2+x}{2-x}=-\frac{3x-x^2}{x-3}= \\ =-\frac{x(3-x)}{-(3-x)}=x \end{gathered}$$

а) Сначала выполним действие в скобках, приведя к общему знаменателю $x+1$:
$ \frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} $
Теперь выполним умножение. Так как $1+x = x+1$, мы можем сократить общие множители:
$ \frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1} = \frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1} $
Ответ: $ \frac{2x+1}{2x-1} $

б) Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $1-y$:
$ 1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y} $
Теперь выполним деление. Для этого заменим его на умножение на обратную дробь и разложим знаменатель $1-y^2$ по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.
$ \frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y} $
Сократим общие множители $y$ и $(1-y)$:
$ \frac{5 \cdot \cancel{y^2} \ y}{( \cancel{1-y})(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{1+y} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{5y}{1+y} $
Ответ: $ -\frac{5y}{1+y} $

в) Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2-a$:
$ \frac{4a}{2-a} - a = \frac{4a - a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - 2a + a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a} $
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a(a+2)}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2} $
Используем свойство $a-2 = -(2-a)$ и сократим общие множители $(a+2)$ и $(2-a)$:
$ \frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{2-a}} \cdot \frac{-(\cancel{2-a})}{\cancel{a+2}} = a \cdot (-1) = -a $
Ответ: $ -a $

г) Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2-x$:
$ x + \frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x - x^2 + x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x} = \frac{x(3-x)}{2-x} $
Теперь выполним умножение. Используем свойства $x-2 = -(2-x)$ и $3-x = -(x-3)$ для сокращения дробей:
$ \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(3-x)}{2-x} = \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{x-3}} \cdot \frac{x(-(\cancel{x-3}))}{-(\cancel{x-2})} = \frac{-x}{-1} = x $
Ответ: $ x $