Номер 152, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 152, страница 41.

152. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}=\frac{10}{2m+1}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{{(2m+1)}^2-{(2m-1)}^2}{(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{(2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1)}{(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{2·4m}{(2m-1)(2m+1)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{2·4m}{(2m-1)(2m+1)}:\frac{4m}{10m-5}= \\ =\frac{2·4m·5(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)\mathbf{·}4m}=\frac{10}{2m+1} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+3}{x^2+9}·\left(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\right)=\frac{2}{x-3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{{(x+3)}^2+{(x-3)}^2}{(x-3)(x+3)}= \\ =\frac{x^2+6x+9+x^2-6x+9}{(x-3)(x+3}=\frac{2x^2+18}{(x-3)(x+3)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{x+3}{x^2+9}·\frac{2x^2+18}{(x-3)(x+3)}= \\ =\frac{\bcancel{(x+3)}·2\cancel{(x^2+9)}}{\cancel{(x^2+9)}·(x-3)\bcancel{(x+3)}}=\frac{2}{x-3} \end{gathered}$$

а) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$

1. Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(2m-1)(2m+1)$.

$\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}$

2. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2m+1$ и $b = 2m-1$.

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1) - (2m-1)) \cdot ((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1) \cdot (2m+1+2m-1) = 2 \cdot 4m = 8m$

3. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}$

4. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Также разложим на множители знаменатель второй дроби: $10m-5 = 5(2m-1)$.

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m-5}{4m} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $8m$ и $4m$ сокращаются до 2, а $(2m-1)$ сокращается полностью.

$\frac{^2\cancel{8m}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)} \cdot \frac{5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{4m}} = \frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1}$

Ответ: $\frac{10}{2m+1}$

б) $\frac{x+3}{x^2+9} \cdot (\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3})$

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$.

$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$

2. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(x+3)^2 = x^2+6x+9$

$(x-3)^2 = x^2-6x+9$

3. Сложим полученные выражения:

$(x^2+6x+9) + (x^2-6x+9) = 2x^2+18 = 2(x^2+9)$

4. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}$

5. Теперь выполним умножение:

$\frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}$

6. Сократим общие множители: $(x^2+9)$ в числителе и знаменателе, а также $(x+3)$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{x+3}}{\cancel{x^2+9}} \cdot \frac{2(\cancel{x^2+9})}{(x-3)(\cancel{x+3})} = \frac{2}{x-3}$

Ответ: $\frac{2}{x-3}$