Номер 159, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 159, страница 43.

159. При каком значении a выражение принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} (0,5{(a-1)}^2-18)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right)= \\ =0,5({(a-1)}^2-36)·\frac{{(a+5)}^2+{(a-7)}^2}{(a-7)(a+5)}= \\ =0,5(a-1-6)(a-1+6)\times \\ \times \frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{(a-7)(a+5)}= \\ =0,5(a-7)(a+5)\frac{2a^2-4a+74}{(a-7)(a+5)}= \\ =0,5(2a^2-4a+74)=a^2-2a+37= \\ =a^2-2a+1+36={(a-1)}^2+36 \end{gathered}$$

при a=1 данное выражение принимает наименьшее значение, равное 36

Ответ: при a=1; 36

Для нахождения наименьшего значения выражения $E(a) = (0,5(a - 1)^2 - 18)\left(\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5}\right)$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно:

$a - 7 \neq 0 \implies a \neq 7$

$a + 5 \neq 0 \implies a \neq -5$

Таким образом, ОДЗ: $a \in (-\infty; -5) \cup (-5; 7) \cup (7; +\infty)$.

Далее упростим исходное выражение. Для этого преобразуем каждую из скобок по отдельности.

Преобразуем первую скобку:

$0,5(a - 1)^2 - 18 = \frac{1}{2}(a^2 - 2a + 1) - 18 = \frac{1}{2}a^2 - a + \frac{1}{2} - 18 = \frac{1}{2}a^2 - a - \frac{35}{2}$.

Вынеся общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, получаем: $\frac{1}{2}(a^2 - 2a - 35)$.

Преобразуем вторую скобку, приведя дроби к общему знаменателю $(a-7)(a+5)$:

$\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5} = \frac{(a+5)^2 + (a-7)^2}{(a-7)(a+5)} = \frac{(a^2 + 10a + 25) + (a^2 - 14a + 49)}{a^2 + 5a - 7a - 35} = \frac{2a^2 - 4a + 74}{a^2 - 2a - 35} = \frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}$.

Теперь перемножим упрощенные выражения для скобок:

$E(a) = \frac{1}{2}(a^2 - 2a - 35) \cdot \frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}$.

В области допустимых значений выражение $a^2 - 2a - 35$ (которое равно $(a-7)(a+5)$) не равно нулю, поэтому на него можно сократить:

$E(a) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (a^2 - 2a + 37) = a^2 - 2a + 37$.

В результате упрощения мы получили квадратичную функцию $E(a) = a^2 - 2a + 37$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1>0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти значение $a$, при котором достигается минимум, можно выделить полный квадрат:

$a^2 - 2a + 37 = (a^2 - 2a + 1) - 1 + 37 = (a-1)^2 + 36$.

Выражение $(a-1)^2$ всегда больше или равно нулю. Его наименьшее значение, равное 0, достигается при $a-1=0$, то есть при $a=1$. Это значение входит в ОДЗ.

Наименьшее значение всего выражения равно значению функции при $a=1$:

$E_{min} = (1-1)^2 + 36 = 0 + 36 = 36$.

Ответ: при $a=1$ выражение принимает наименьшее значение, равное 36.