Номер 165, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 165, страница 43.

165. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:

a) ${\left(n+\frac{1}{n}\right)}^2=n^2+2+\frac{1}{n^2}=\frac{n^4+2n^2+1}{n^2}=\frac{{(n^2+1)}^2}{n^2}$

б) ${\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)}^2={\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)}^2=\frac{a^4-2a^2{b}^2+b^4}{a^2{b}^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(\frac{x}{y}+1\right)}^2+{\left(\frac{x}{y}-1\right)}^2=\frac{x^2}{y^2}+2·\frac{x}{y}+1+ \\ +\frac{x^2}{y^2}-2·\frac{x}{y}+1=2·\frac{x^2}{y^2}+2=\frac{2x^2+2y^2}{y^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)}^2-{\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)}^2= \\ =\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}-\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}+\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)= \\ =\frac{2q}{p}·\frac{2p}{q}=\frac{2y·2p}{pq}=4 \end{gathered}$$

а) Чтобы представить выражение $ (n + \frac{1}{n})^2 $ в виде рациональной дроби, используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. Подставив $ a = n $ и $ b = \frac{1}{n} $, получаем: $ (n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} $. Затем приведем слагаемые к общему знаменателю $ n^2 $: $ \frac{n^2 \cdot n^2}{n^2} + \frac{2 \cdot n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} $.
Ответ: $ \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} $.

б) Для выражения $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2 $ применим формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $. Здесь $ x = \frac{a}{b} $ и $ y = \frac{b}{a} $. Получаем: $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2} $. Чтобы представить результат в виде одной рациональной дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $ a^2b^2 $: $ \frac{a^2 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} - \frac{2 a^2 b^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2 \cdot b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2} $.

в) Для упрощения выражения $ (\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} - 1)^2 $ воспользуемся тождеством $ (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2) $. Пусть $ a = \frac{x}{y} $ и $ b = 1 $. Тогда выражение равно $ 2 \cdot ((\frac{x}{y})^2 + 1^2) = 2 \cdot (\frac{x^2}{y^2} + 1) $. Приводя выражение в скобках к общему знаменателю $ y^2 $, получаем: $ 2 \cdot (\frac{x^2 + y^2}{y^2}) = \frac{2(x^2 + y^2)}{y^2} = \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2} $.
Ответ: $ \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2} $.

г) Для выражения $ (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 $ удобно применить тождество $ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $. В нашем случае $ a = \frac{p}{q} $ и $ b = \frac{q}{p} $. Подставляя эти значения в тождество, получаем: $ 4 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} $. Сокращая дроби, находим результат: $ 4 \cdot \frac{pq}{qp} = 4 \cdot 1 = 4 $. Результатом является многочлен нулевой степени.
Ответ: $ 4 $.