Номер 170, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 170, страница 44.

170. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{{\displaystyle \frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{9}}}{{\displaystyle \frac{a}{12}+\frac{b}{18}}}=\frac{{\displaystyle \frac{9a^2-4b^2}{36}}}{{\displaystyle \frac{3a+2b}{36}}}= \\ =\frac{9a^2-4b^2}{36}:\frac{3a+2b}{36}= \\ =\frac{(3a-2b)(3a+2b)}{36}·\frac{36}{3a+2b}=3a-2b \end{gathered}$$

при $a=\frac{2}{3}; b=-\frac{1}{2}$

$3·\frac{2}{3}-2·\left(-\frac{1}{2}\right)=2+1=3$

б) $\frac{0,2a-b}{{\displaystyle \frac{a^2}{25}}-b^2}=\frac{0,2a-b}{{\displaystyle \frac{a^2-25b^2}{25}}}=(0,2a-b):\frac{a^2-25b^2}{25}=$

$$\begin{gathered} =(0,2a-b)·\frac{25}{(a-5b)(a+5b)}=\frac{25·0,2(a-5b)}{(a-5b)(a+5b)}= \\ =\frac{5}{a+5b} \end{gathered}$$

при $a=-8; b=0,6$

$\frac{5}{-8}+5·0,6=\frac{5}{-8+3}=\frac{5}{-5}=-1$

а) Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби представляет собой разность квадратов, а в знаменателе можно вынести общий множитель.

Упростим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ \frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{9} = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{3}\right)^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right) $

Упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $\frac{1}{6}$:

$ \frac{a}{12} + \frac{b}{18} = \frac{1}{6}\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right) $

Теперь все выражение можно записать в виде:

$ \frac{\left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right)}{\frac{1}{6}\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right)} $

Сократим дробь на общий множитель $\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right)$. Это возможно, так как при подстановке заданных значений выражение не равно нулю. Получим:

$ \frac{\frac{a}{2} - \frac{b}{3}}{\frac{1}{6}} = 6 \cdot \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right) = 3a - 2b $

Подставим значения $a = \frac{2}{3}$ и $b = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$ 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 $

Ответ: 3

б) Сначала упростим данное выражение. Представим десятичную дробь в числителе в виде обыкновенной и применим формулу разности квадратов в знаменателе.

Преобразуем числитель, зная, что $0,2 = \frac{1}{5}$:

$ 0,2a - b = \frac{1}{5}a - b = \frac{a}{5} - b $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ \frac{a^2}{25} - b^2 = \left(\frac{a}{5}\right)^2 - b^2 = \left(\frac{a}{5} - b\right)\left(\frac{a}{5} + b\right) $

Теперь все выражение можно записать в виде:

$ \frac{\frac{a}{5} - b}{\left(\frac{a}{5} - b\right)\left(\frac{a}{5} + b\right)} $

Сократим дробь на общий множитель $\left(\frac{a}{5} - b\right)$. Это возможно, так как при подстановке заданных значений выражение не равно нулю. Получим:

$ \frac{1}{\frac{a}{5} + b} $

Подставим значения $a = -8$ и $b = 0,6$ в упрощенное выражение:

$ \frac{1}{\frac{-8}{5} + 0,6} = \frac{1}{-1,6 + 0,6} = \frac{1}{-1} = -1 $

Ответ: -1