Номер 174, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 174, страница 44.

174. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно?

$$\begin{gathered} t=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{5}{12}}}= \\ =2:\frac{5}{12}=2·\frac{12}{5}=\frac{24}{5}=\frac{48}{10}=4,8 \left(\text{ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: за 4,8 ч

Для решения этой задачи необходимо последовательно найти производительность каждого работника, их общую производительность и затем время, которое потребуется для выполнения двух заказов.

1. Найдём производительность мастера.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем весь заказ за 1. Мастер выполняет один заказ за 4 часа, значит, его производительность составляет:

$P_{мастера} = \frac{1}{4}$ заказа в час.

2. Найдём производительность ученика.

Ученик выполняет один заказ за 6 часов. Его производительность составляет:

$P_{ученика} = \frac{1}{6}$ заказа в час.

3. Найдём совместную производительность.

При совместной работе производительности мастера и ученика складываются:

$P_{совместная} = P_{мастера} + P_{ученика} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Приведём дроби к общему знаменателю 12:

$P_{совместная} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ заказа в час.

Это значит, что работая вместе, за один час они выполнят $\frac{5}{12}$ часть одного заказа.

4. Найдём время на выполнение двух заказов.

Общий объём работы, который необходимо выполнить, равен 2 заказам. Чтобы найти время ($t$), нужно разделить объём работы на совместную производительность:

$t = \frac{\text{Объём работы}}{P_{совместная}} = \frac{2}{\frac{5}{12}}$

Для деления на дробь, мы умножаем на дробь, обратную делителю:

$t = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ часа.

5. Переведём полученное время в более удобный формат (часы и минуты).

Выделим целую часть из дроби $\frac{24}{5}$:

$\frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$ часа.

Теперь переведём дробную часть ($\frac{4}{5}$ часа) в минуты. В одном часе 60 минут:

$\frac{4}{5} \text{ часа} = \frac{4}{5} \cdot 60 \text{ минут} = 4 \cdot 12 \text{ минут} = 48 \text{ минут}$.

Таким образом, для выполнения двух заказов, работая совместно, мастеру и ученику потребуется 4 часа 48 минут.

Ответ: 4 часа 48 минут.