Номер 178, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 178, страница 45.

178. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида y = kx + b, если:

$y=kx+b$

a) $k>0, b>0$

б) $k<0, b>0$

в) $k<0, b<0$

г) $k=0; b>0$

Функция, заданная формулой $y = kx + b$, называется линейной функцией, и её графиком является прямая линия. Положение этой прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов $k$ и $b$.

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$).
  • Если $k > 0$, функция возрастает, и угол наклона острый (прямая "идёт вверх" слева направо).
  • Если $k < 0$, функция убывает, и угол наклона тупой (прямая "идёт вниз" слева направо).
  • Если $k = 0$, прямая параллельна оси $Ox$ (горизонтальна).
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения прямой с осью ординат (осью $Oy$). Прямая пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0, b)$.
  • Если $b > 0$, точка пересечения лежит выше оси $Ox$.
  • Если $b < 0$, точка пересечения лежит ниже оси $Ox$.
  • Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $k > 0, b > 0$

Поскольку угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что её график направлен вверх при движении слева направо.
Поскольку свободный член $b > 0$, график пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, расположенной выше начала координат (выше оси $Ox$).
Совместив эти два условия, получаем прямую, которая проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График представляет собой возрастающую прямую (наклонена вправо-вверх), пересекающую ось $Oy$ в положительной её части (выше начала координат).

б) $k < 0, b > 0$

Поскольку угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что её график направлен вниз при движении слева направо.
Поскольку свободный член $b > 0$, график пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, расположенной выше начала координат (выше оси $Ox$).
Совместив эти два условия, получаем прямую, которая проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График представляет собой убывающую прямую (наклонена вправо-вниз), пересекающую ось $Oy$ в положительной её части (выше начала координат).

в) $k < 0, b < 0$

Поскольку угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей. График направлен вниз при движении слева направо.
Поскольку свободный член $b < 0$, график пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, расположенной ниже начала координат (ниже оси $Ox$).
Совместив эти два условия, получаем прямую, которая проходит через II, III и IV координатные четверти.

Ответ: График представляет собой убывающую прямую (наклонена вправо-вниз), пересекающую ось $Oy$ в отрицательной её части (ниже начала координат).

г) $k = 0, b > 0$

Поскольку угловой коэффициент $k = 0$, формула функции принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$. Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ будет постоянным и равным $b$.
Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).
Поскольку $b > 0$, эта прямая расположена выше оси $Ox$. Она проходит через I и II координатные четверти.

Ответ: График представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$ и расположенную выше неё.