Номер 175, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 175, страница 45.

175. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, затем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?

$$\begin{gathered} v_{ср.}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{20}{180}}+{\displaystyle \frac{15}{180}}+{\displaystyle \frac{18}{180}}}= \\ =\frac{3}{{\displaystyle \frac{53}{180}}}=3:\frac{53}{180}=3·\frac{180}{53}=\frac{540}{53}=10\frac{10}{53}\left(\text{км/ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $10\frac{10}{53} \text{км/ч}$

Для нахождения средней скорости необходимо разделить весь пройденный путь на всё затраченное время. Средняя скорость не является средним арифметическим значением скоростей.

Обозначим дистанцию, которую школьник проходил каждый раз, переменной $S$.

Поскольку школьник прошёл эту дистанцию трижды, общий пройденный путь $S_{общ}$ равен:
$S_{общ} = S + S + S = 3S$

Далее найдём время, затраченное на каждый из трёх участков пути, используя формулу времени $t = \frac{\text{путь}}{\text{скорость}}$.

• Время на первом участке (скорость $v_1 = 9$ км/ч): $t_1 = \frac{S}{9}$ ч.
• Время на втором участке (скорость $v_2 = 12$ км/ч): $t_2 = \frac{S}{12}$ ч.
• Время на третьем участке (скорость $v_3 = 10$ км/ч): $t_3 = \frac{S}{10}$ ч.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок:
$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{9} + \frac{S}{12} + \frac{S}{10}$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 9, 12 и 10 равно 180.
$t_{общ} = \frac{20 \cdot S}{180} + \frac{15 \cdot S}{180} + \frac{18 \cdot S}{180} = \frac{20S + 15S + 18S}{180} = \frac{53S}{180}$ ч.

Теперь мы можем найти среднюю скорость $v_{ср}$, используя основную формулу:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{3S}{\frac{53S}{180}}$

Величина дистанции $S$ в числителе и знаменателе сокращается:
$v_{ср} = \frac{3}{\frac{53}{180}} = 3 \cdot \frac{180}{53} = \frac{540}{53}$ км/ч.

Для более наглядного представления результата, выразим его в виде смешанной дроби:
$\frac{540}{53} = 10 \frac{10}{53}$ км/ч.

Ответ: $10 \frac{10}{53}$ км/ч.