Номер 168, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 168, страница 44.

168 . Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

a) если $x=\frac{ab}{a+b},$то

$$\begin{gathered} \frac{x-a}{x-b}=\frac{{\displaystyle \frac{ab}{a+b}}-a}{{\displaystyle \frac{ab}{a+b}}-b}=\frac{{\displaystyle \frac{ab-a(a+b)}{a+b}}}{{\displaystyle \frac{ab-b(a+b)}{a+b}}}= \\ =\frac{ab-a^2-ab}{a+b}:\frac{ab-ab-b^2}{a+b}= \\ =\frac{-a^2}{a+b}·\frac{a+b}{-b^2}=\frac{a^2}{b^2} \end{gathered}$$

б) если $x=\frac{a-b}{a+b},$то

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}-x}{{\displaystyle \frac{b}{a}}+x}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}{{\displaystyle \frac{b}{a}}+{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}=\frac{{\displaystyle \frac{a(a+b)-b(a-b)}{b(a+b)}}}{{\displaystyle \frac{b(a+b)+a(a-b)}{a(a+b)}}}= \\ =\frac{a^2+ab-ab+b^2}{b(a+b)}:\frac{ab+b^2+a^2-ab}{a(a+b)}= \\ =\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}·\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

а)

Подставим значение $x = \frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$:

$\frac{x-a}{x-b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Чтобы упростить это многоэтажное выражение, приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби. Общий знаменатель для них - $(a+b)$.

Преобразуем числитель:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Преобразуем знаменатель:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2} = \frac{-a^2(a+b)}{-b^2(a+b)}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ и знаки минус:

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

б)

Подставим значение $x = \frac{a-b}{a+b}$ в выражение $\frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{b}{a}+x}$:

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя выражения в них к общим знаменателям.

Преобразуем числитель (общий знаменатель $b(a+b)$):

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b)}{b(a+b)} - \frac{b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a+b)}$

Преобразуем знаменатель (общий знаменатель $a(a+b)$):

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b)}{a(a+b)} + \frac{a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

Подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$\frac{\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}$

Разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$\frac{a^2+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$

Сокращаем одинаковые множители $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$