Номер 167, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 167, страница 44.

167. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2-{\displaystyle \frac{a}{x}}}{2+{\displaystyle \frac{a}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2x-a}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x+a}{x}}}=\frac{2x-a}{x}:\frac{2x+a}{x}= \\ =\frac{2x-a}{x}·\frac{x}{2x+a}=\frac{2x-a}{2x+a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{\displaystyle \frac{a-b}{c}}+3}{{\displaystyle \frac{a+b}{c}}-1}=\frac{{\displaystyle \frac{a-b+3c}{c}}}{{\displaystyle \frac{a+b-c}{c}}}= \\ =\frac{a-b+3c}{c}:\frac{a+b-c}{c}= \\ =\frac{a-b+3c}{c}·\frac{c}{a+b-c}=\frac{a-b+3c}{a+b-c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}}{{\displaystyle \frac{y-x}{xy}}}=\frac{x+y}{xy}:\frac{y-x}{xy}= \\ =\frac{x+y}{xy}·\frac{xy}{y-x}=\frac{x+y}{y-x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-y}{{\displaystyle \frac{x}{y}}-{\displaystyle \frac{y}{x}}}=\frac{x-y}{{\displaystyle \frac{x^2-y^2}{xy}}}=\frac{x-y}{1}:\frac{x^2-y^2}{xy}= \\ =\frac{(x-y)·xy}{(x-y)(x+y)}=\frac{xy}{x+y} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить данную дробь в виде отношения многочленов, необходимо упростить ее числитель и знаменатель. Для этого приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $x$.

Упростим числитель: $2 - \frac{a}{x} = \frac{2 \cdot x}{x} - \frac{a}{x} = \frac{2x - a}{x}$.

Упростим знаменатель: $2 + \frac{a}{x} = \frac{2 \cdot x}{x} + \frac{a}{x} = \frac{2x + a}{x}$.

Теперь исходная дробь имеет вид: $ \frac{\frac{2x - a}{x}}{\frac{2x + a}{x}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй: $ \frac{2x - a}{x} \div \frac{2x + a}{x} = \frac{2x - a}{x} \cdot \frac{x}{2x + a} $

Сокращаем общий множитель $x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \ne 0$): $ \frac{2x - a}{2x + a} $

Ответ: $ \frac{2x - a}{2x + a} $

б)

Приведем числитель и знаменатель основной дроби к общему знаменателю $c$.

Упростим числитель: $\frac{a - b}{c} + 3 = \frac{a - b}{c} + \frac{3c}{c} = \frac{a - b + 3c}{c}$.

Упростим знаменатель: $\frac{a + b}{c} - 1 = \frac{a + b}{c} - \frac{c}{c} = \frac{a + b - c}{c}$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь: $ \frac{\frac{a - b + 3c}{c}}{\frac{a + b - c}{c}} $

Выполним деление дробей: $ \frac{a - b + 3c}{c} \cdot \frac{c}{a + b - c} $

Сокращаем на $c$ (при условии, что $c \ne 0$): $ \frac{a - b + 3c}{a + b - c} $

Ответ: $ \frac{a - b + 3c}{a + b - c} $

в)

Приведем к общему знаменателю $xy$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби.

Числитель: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy}$.

Знаменатель: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy}$.

Исходная дробь примет вид: $ \frac{\frac{x + y}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} $

Выполним деление, умножив на обратную дробь: $ \frac{x + y}{xy} \cdot \frac{xy}{y - x} $

Сокращаем на $xy$ (при условии, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$): $ \frac{x + y}{y - x} $

Ответ: $ \frac{x + y}{y - x} $

г)

Сначала упростим знаменатель дроби, приведя его к общему знаменателю $xy$.

Знаменатель: $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{xy} - \frac{y \cdot y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$.

Теперь исходная дробь выглядит так: $ \frac{x - y}{\frac{x^2 - y^2}{xy}} $

Это равносильно делению числителя на знаменатель: $ (x - y) \div \frac{x^2 - y^2}{xy} = (x - y) \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2} $

Разложим выражение $x^2 - y^2$ в знаменателе по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. $ \frac{(x - y)xy}{(x - y)(x + y)} $

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ (при условии, что $x \ne y$): $ \frac{xy}{x + y} $

Ответ: $ \frac{xy}{x + y} $