Номер 166, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 166, страница 43.

166. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=\frac{x-1}{x}:\frac{x+1}{x}= \\ =\frac{x-1}{x}·\frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{x+1} \end{gathered}$$

б) $\frac{{\displaystyle \frac{2a-b}{b}}+1}{{\displaystyle \frac{2a+b}{b}}-1}=\frac{{\displaystyle \frac{2a-b+b}{b}}}{{\displaystyle \frac{2a+b-b}{b}}}=\frac{2a}{b}:\frac{2a}{b}=1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{\displaystyle \frac{x}{y^2}}+{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{y^2}}-{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}}}{{\displaystyle \frac{x^3-y^3}{x^2{y}^2}}}=\frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}:\frac{x^3-y^3}{x^2{y}^2}= \\ =\frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}·\frac{x^2{y}^2}{x^3-y^3}=\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}}{{\displaystyle \frac{1}{ab}}+{\displaystyle \frac{1}{bc}}+{\displaystyle \frac{1}{ac}}}=\frac{{\displaystyle \frac{bc+ac+ab}{abc}}}{{\displaystyle \frac{c+a+b}{abc}}}= \\ =\frac{bc+ac+ab}{abc}:\frac{a+b+c}{abc}= \\ =\frac{ab+bc+ac}{abc}·\frac{abc}{a+b+c}=\frac{ab+bc+ac}{a+b+c} \end{gathered}$$

а) Преобразуем числитель и знаменатель сложной дроби, приведя их к общему знаменателю $x$.

В числителе получаем: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.

В знаменателе получаем: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.

Теперь выполним деление полученных дробей:

$\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$.

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

б) Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя каждое выражение к общему знаменателю $b$.

Преобразование числителя: $\frac{2a-b}{b} + 1 = \frac{2a-b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a-b+b}{b} = \frac{2a}{b}$.

Преобразование знаменателя: $\frac{2a+b}{b} - 1 = \frac{2a+b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{2a+b-b}{b} = \frac{2a}{b}$.

Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1$.

Это равенство справедливо при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Ответ: $1$.

в) Преобразуем числитель и знаменатель, приведя дроби в них к общему знаменателю $x^2y^2$.

В числителе: $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3+y^3}{x^2y^2}$.

В знаменателе: $\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3-y^3}{x^2y^2}$.

Теперь разделим полученные выражения:

$\frac{\frac{x^3+y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3-y^3}{x^2y^2}} = \frac{x^3+y^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{x^3-y^3} = \frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$.

Ответ: $\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$.

г) Для упрощения данного выражения приведем к общему знаменателю $abc$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби.

Преобразуем числитель: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+bc+ac}{abc}$.

Преобразуем знаменатель: $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = \frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.

Выполним деление полученных дробей:

$\frac{\frac{ab+bc+ac}{abc}}{\frac{a+b+c}{abc}} = \frac{ab+bc+ac}{abc} \cdot \frac{abc}{a+b+c} = \frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$.

Ответ: $\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$.