Номер 162, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 162, страница 43.

162. Докажите тождество:

a) $\frac{1,2x^2-xy}{0,36x^2-0,25y^2}=\frac{20x}{6x+5y}$
$$\begin{gathered} \frac{1,2x^2-xy}{0,36x^2-0,25y^2}=\frac{x(1,2x-y)}{(0,6x-0,5y)(0,6x+0,5y)}= \\ =\frac{10x·10(1,2x-y)}{10(0,6x-0,5y)·10(0,6x+0,5y)}= \\ =\frac{10x(12x-10y)}{(6x-5y)(6x+5y)}=\frac{10x·2(6x-5)}{(6x-5y)(6x+5y)}= \\ =\frac{20x}{6x+5y} \end{gathered}$$

б) $\frac{4,5a+4x}{0,81a^2-0,64x^2}=\frac{50}{9a-8x}$
$$\begin{gathered} \frac{4,5a+4x}{0,81a^2-0,64x^2}=\frac{4,5a+4x}{(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)}= \\ =\frac{(4,5a+4x)·10·10}{10(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)}= \\ =\frac{10(45a+40x)}{(9a-8x)(9a+8x)}= \\ =\frac{10·5(9a+8x)}{(9a-8x)(9a+8x)}=\frac{50}{9a-8x} \end{gathered}$$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, заметив, что $0,36x^2 = (0,6x)^2$ и $0,25y^2 = (0,5y)^2$.

$ \frac{1,2x^2 - xy}{0,36x^2 - 0,25y^2} = \frac{x(1,2x - y)}{(0,6x)^2 - (0,5y)^2} = \frac{x(1,2x - y)}{(0,6x - 0,5y)(0,6x + 0,5y)} $

В числителе вынесем множитель 2 из скобки: $1,2x - y = 2(0,6x - 0,5y)$. Подставим это выражение обратно в дробь и сократим на общий множитель $(0,6x - 0,5y)$:

$ \frac{x \cdot 2(0,6x - 0,5y)}{(0,6x - 0,5y)(0,6x + 0,5y)} = \frac{2x}{0,6x + 0,5y} $

Чтобы привести дробь к виду в правой части тождества, умножим ее числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{2x \cdot 10}{(0,6x + 0,5y) \cdot 10} = \frac{20x}{6x + 5y} $

Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Разложим знаменатель $0,81a^2 - 0,64x^2$ по формуле разности квадратов: $(0,9a)^2 - (0,8x)^2 = (0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)$. В числителе $4,5a + 4x$ вынесем за скобки общий множитель 5, получив $5(0,9a + 0,8x)$.

$ \frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 - 0,64x^2} = \frac{5(0,9a + 0,8x)}{(0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)} $

Сократим дробь на общий множитель $(0,9a + 0,8x)$:

$ \frac{5}{0,9a - 0,8x} $

Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$ \frac{5 \cdot 10}{(0,9a - 0,8x) \cdot 10} = \frac{50}{9a - 8x} $

Преобразованная левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.