Номер 169, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 169, страница 44.

169. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

a) если $a=\frac{1}{1-x}, b=\frac{1}{1+x},$ то

$$\begin{gathered} \frac{a+b}{a-b}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{1-x}}+{\displaystyle \frac{1}{1+x}}}{{\displaystyle \frac{1}{1-x}}-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}}}{{\displaystyle \frac{1+x-1+x}{(1-x)(1+x)}}}= \\ =\frac{2}{(1-x)(1+x)}:\frac{2x}{(1-x)(1+x)}= \\ =\frac{2}{(1-x)(1+x)}·\frac{(1-x)(1+x)}{2x}=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

б) если $x=\frac{ab}{a-b},$ то

$$\begin{gathered} \frac{ax}{a+x}-\frac{bx}{b-x}=\frac{ax(b-x)-bx(a+x)}{(a+x)(b-x)}= \\ =\frac{abx-a{x}^2-abx-b{x}^2}{(a+x)(b-x)}=\frac{-x^2(a+b)}{(a+x)(b-x)}= \\ =\frac{-{\left({\displaystyle \frac{ab}{a-b}}\right)}^2(a+b)}{\left(a+{\displaystyle \frac{ab}{a-b}}\right)\left(b-{\displaystyle \frac{ab}{a-b}}\right)}= \\ =\frac{-{\displaystyle \frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}}}{{\displaystyle \frac{a(a-b)+ab}{a-b}}·{\displaystyle \frac{b(a-b)-ab}{a-b}}}= \\ =\frac{-{\displaystyle \frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}}}{{\displaystyle \frac{(a^2-ab+ab)(ab-b^2-ab)}{{(a-b)}^2}}}= \\ =-\frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}:\frac{a^2·(-b^2)}{{(a-b)}^2}= \\ =\frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}·\frac{{(a-b)}^2}{a^2{b}^2}=a+b \end{gathered}$$

а)

Дано выражение $\frac{a+b}{a-b}$, где $a = \frac{1}{1-x}$ и $b = \frac{1}{1+x}$.

Подставим значения $a$ и $b$ в исходное выражение:

$\frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x}}$

Сначала преобразуем числитель дроби. Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x) = 1-x^2$:

$a+b = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x) + 1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$

Теперь преобразуем знаменатель дроби, используя тот же общий знаменатель:

$a-b = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x) - 1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x-1+x}{1-x^2} = \frac{2x}{1-x^2}$

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{2}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^2}{2x}$

Сократим общие множители 2 и $(1-x^2)$:

$\frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

б)

Дано выражение $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$, где $x = \frac{ab}{a-b}$.

Для упрощения задачи преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое $\frac{ax}{a+x}$. Сначала найдем выражение в знаменателе $a+x$:

$a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2-ab+ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$

Теперь подставим это в первое слагаемое:

$\frac{ax}{a+x} = \frac{a \cdot \frac{ab}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}}$

Разделив числитель на знаменатель (умножив на перевернутый знаменатель), получим:

$\frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b$

Рассмотрим второе слагаемое $\frac{bx}{b-x}$. Сначала найдем выражение в знаменателе $b-x$:

$b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b)}{a-b} - \frac{ab}{a-b} = \frac{ab-b^2-ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b}$

Теперь подставим это во второе слагаемое:

$\frac{bx}{b-x} = \frac{b \cdot \frac{ab}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}}$

Разделив числитель на знаменатель, получим:

$\frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = \frac{a}{-1} = -a$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} = b - (-a) = b+a$

Ответ: $a+b$