Страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

167. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2-{\displaystyle \frac{a}{x}}}{2+{\displaystyle \frac{a}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2x-a}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x+a}{x}}}=\frac{2x-a}{x}:\frac{2x+a}{x}= \\ =\frac{2x-a}{x}·\frac{x}{2x+a}=\frac{2x-a}{2x+a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{\displaystyle \frac{a-b}{c}}+3}{{\displaystyle \frac{a+b}{c}}-1}=\frac{{\displaystyle \frac{a-b+3c}{c}}}{{\displaystyle \frac{a+b-c}{c}}}= \\ =\frac{a-b+3c}{c}:\frac{a+b-c}{c}= \\ =\frac{a-b+3c}{c}·\frac{c}{a+b-c}=\frac{a-b+3c}{a+b-c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}}{{\displaystyle \frac{y-x}{xy}}}=\frac{x+y}{xy}:\frac{y-x}{xy}= \\ =\frac{x+y}{xy}·\frac{xy}{y-x}=\frac{x+y}{y-x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-y}{{\displaystyle \frac{x}{y}}-{\displaystyle \frac{y}{x}}}=\frac{x-y}{{\displaystyle \frac{x^2-y^2}{xy}}}=\frac{x-y}{1}:\frac{x^2-y^2}{xy}= \\ =\frac{(x-y)·xy}{(x-y)(x+y)}=\frac{xy}{x+y} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить данную дробь в виде отношения многочленов, необходимо упростить ее числитель и знаменатель. Для этого приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $x$.

Упростим числитель: $2 - \frac{a}{x} = \frac{2 \cdot x}{x} - \frac{a}{x} = \frac{2x - a}{x}$.

Упростим знаменатель: $2 + \frac{a}{x} = \frac{2 \cdot x}{x} + \frac{a}{x} = \frac{2x + a}{x}$.

Теперь исходная дробь имеет вид: $ \frac{\frac{2x - a}{x}}{\frac{2x + a}{x}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй: $ \frac{2x - a}{x} \div \frac{2x + a}{x} = \frac{2x - a}{x} \cdot \frac{x}{2x + a} $

Сокращаем общий множитель $x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \ne 0$): $ \frac{2x - a}{2x + a} $

Ответ: $ \frac{2x - a}{2x + a} $

б)

Приведем числитель и знаменатель основной дроби к общему знаменателю $c$.

Упростим числитель: $\frac{a - b}{c} + 3 = \frac{a - b}{c} + \frac{3c}{c} = \frac{a - b + 3c}{c}$.

Упростим знаменатель: $\frac{a + b}{c} - 1 = \frac{a + b}{c} - \frac{c}{c} = \frac{a + b - c}{c}$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь: $ \frac{\frac{a - b + 3c}{c}}{\frac{a + b - c}{c}} $

Выполним деление дробей: $ \frac{a - b + 3c}{c} \cdot \frac{c}{a + b - c} $

Сокращаем на $c$ (при условии, что $c \ne 0$): $ \frac{a - b + 3c}{a + b - c} $

Ответ: $ \frac{a - b + 3c}{a + b - c} $

в)

Приведем к общему знаменателю $xy$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби.

Числитель: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy}$.

Знаменатель: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy}$.

Исходная дробь примет вид: $ \frac{\frac{x + y}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} $

Выполним деление, умножив на обратную дробь: $ \frac{x + y}{xy} \cdot \frac{xy}{y - x} $

Сокращаем на $xy$ (при условии, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$): $ \frac{x + y}{y - x} $

Ответ: $ \frac{x + y}{y - x} $

г)

Сначала упростим знаменатель дроби, приведя его к общему знаменателю $xy$.

Знаменатель: $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{xy} - \frac{y \cdot y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$.

Теперь исходная дробь выглядит так: $ \frac{x - y}{\frac{x^2 - y^2}{xy}} $

Это равносильно делению числителя на знаменатель: $ (x - y) \div \frac{x^2 - y^2}{xy} = (x - y) \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2} $

Разложим выражение $x^2 - y^2$ в знаменателе по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. $ \frac{(x - y)xy}{(x - y)(x + y)} $

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ (при условии, что $x \ne y$): $ \frac{xy}{x + y} $

Ответ: $ \frac{xy}{x + y} $

168 . Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

a) если $x=\frac{ab}{a+b},$то

$$\begin{gathered} \frac{x-a}{x-b}=\frac{{\displaystyle \frac{ab}{a+b}}-a}{{\displaystyle \frac{ab}{a+b}}-b}=\frac{{\displaystyle \frac{ab-a(a+b)}{a+b}}}{{\displaystyle \frac{ab-b(a+b)}{a+b}}}= \\ =\frac{ab-a^2-ab}{a+b}:\frac{ab-ab-b^2}{a+b}= \\ =\frac{-a^2}{a+b}·\frac{a+b}{-b^2}=\frac{a^2}{b^2} \end{gathered}$$

б) если $x=\frac{a-b}{a+b},$то

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}-x}{{\displaystyle \frac{b}{a}}+x}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}{{\displaystyle \frac{b}{a}}+{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}=\frac{{\displaystyle \frac{a(a+b)-b(a-b)}{b(a+b)}}}{{\displaystyle \frac{b(a+b)+a(a-b)}{a(a+b)}}}= \\ =\frac{a^2+ab-ab+b^2}{b(a+b)}:\frac{ab+b^2+a^2-ab}{a(a+b)}= \\ =\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}·\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

а)

Подставим значение $x = \frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$:

$\frac{x-a}{x-b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Чтобы упростить это многоэтажное выражение, приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби. Общий знаменатель для них - $(a+b)$.

Преобразуем числитель:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Преобразуем знаменатель:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2} = \frac{-a^2(a+b)}{-b^2(a+b)}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ и знаки минус:

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

б)

Подставим значение $x = \frac{a-b}{a+b}$ в выражение $\frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{b}{a}+x}$:

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя выражения в них к общим знаменателям.

Преобразуем числитель (общий знаменатель $b(a+b)$):

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b)}{b(a+b)} - \frac{b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a+b)}$

Преобразуем знаменатель (общий знаменатель $a(a+b)$):

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b)}{a(a+b)} + \frac{a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

Подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$\frac{\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}$

Разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$\frac{a^2+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$

Сокращаем одинаковые множители $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

169. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

a) если $a=\frac{1}{1-x}, b=\frac{1}{1+x},$ то

$$\begin{gathered} \frac{a+b}{a-b}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{1-x}}+{\displaystyle \frac{1}{1+x}}}{{\displaystyle \frac{1}{1-x}}-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}}}{{\displaystyle \frac{1+x-1+x}{(1-x)(1+x)}}}= \\ =\frac{2}{(1-x)(1+x)}:\frac{2x}{(1-x)(1+x)}= \\ =\frac{2}{(1-x)(1+x)}·\frac{(1-x)(1+x)}{2x}=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

б) если $x=\frac{ab}{a-b},$ то

$$\begin{gathered} \frac{ax}{a+x}-\frac{bx}{b-x}=\frac{ax(b-x)-bx(a+x)}{(a+x)(b-x)}= \\ =\frac{abx-a{x}^2-abx-b{x}^2}{(a+x)(b-x)}=\frac{-x^2(a+b)}{(a+x)(b-x)}= \\ =\frac{-{\left({\displaystyle \frac{ab}{a-b}}\right)}^2(a+b)}{\left(a+{\displaystyle \frac{ab}{a-b}}\right)\left(b-{\displaystyle \frac{ab}{a-b}}\right)}= \\ =\frac{-{\displaystyle \frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}}}{{\displaystyle \frac{a(a-b)+ab}{a-b}}·{\displaystyle \frac{b(a-b)-ab}{a-b}}}= \\ =\frac{-{\displaystyle \frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}}}{{\displaystyle \frac{(a^2-ab+ab)(ab-b^2-ab)}{{(a-b)}^2}}}= \\ =-\frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}:\frac{a^2·(-b^2)}{{(a-b)}^2}= \\ =\frac{a^2{b}^2(a+b)}{{(a-b)}^2}·\frac{{(a-b)}^2}{a^2{b}^2}=a+b \end{gathered}$$

а)

Дано выражение $\frac{a+b}{a-b}$, где $a = \frac{1}{1-x}$ и $b = \frac{1}{1+x}$.

Подставим значения $a$ и $b$ в исходное выражение:

$\frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x}}$

Сначала преобразуем числитель дроби. Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x) = 1-x^2$:

$a+b = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x) + 1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$

Теперь преобразуем знаменатель дроби, используя тот же общий знаменатель:

$a-b = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x) - 1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x-1+x}{1-x^2} = \frac{2x}{1-x^2}$

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{2}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^2}{2x}$

Сократим общие множители 2 и $(1-x^2)$:

$\frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

б)

Дано выражение $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$, где $x = \frac{ab}{a-b}$.

Для упрощения задачи преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое $\frac{ax}{a+x}$. Сначала найдем выражение в знаменателе $a+x$:

$a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2-ab+ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$

Теперь подставим это в первое слагаемое:

$\frac{ax}{a+x} = \frac{a \cdot \frac{ab}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}}$

Разделив числитель на знаменатель (умножив на перевернутый знаменатель), получим:

$\frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b$

Рассмотрим второе слагаемое $\frac{bx}{b-x}$. Сначала найдем выражение в знаменателе $b-x$:

$b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b)}{a-b} - \frac{ab}{a-b} = \frac{ab-b^2-ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b}$

Теперь подставим это во второе слагаемое:

$\frac{bx}{b-x} = \frac{b \cdot \frac{ab}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}}$

Разделив числитель на знаменатель, получим:

$\frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = \frac{a}{-1} = -a$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} = b - (-a) = b+a$

Ответ: $a+b$

170. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{{\displaystyle \frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{9}}}{{\displaystyle \frac{a}{12}+\frac{b}{18}}}=\frac{{\displaystyle \frac{9a^2-4b^2}{36}}}{{\displaystyle \frac{3a+2b}{36}}}= \\ =\frac{9a^2-4b^2}{36}:\frac{3a+2b}{36}= \\ =\frac{(3a-2b)(3a+2b)}{36}·\frac{36}{3a+2b}=3a-2b \end{gathered}$$

при $a=\frac{2}{3}; b=-\frac{1}{2}$

$3·\frac{2}{3}-2·\left(-\frac{1}{2}\right)=2+1=3$

б) $\frac{0,2a-b}{{\displaystyle \frac{a^2}{25}}-b^2}=\frac{0,2a-b}{{\displaystyle \frac{a^2-25b^2}{25}}}=(0,2a-b):\frac{a^2-25b^2}{25}=$

$$\begin{gathered} =(0,2a-b)·\frac{25}{(a-5b)(a+5b)}=\frac{25·0,2(a-5b)}{(a-5b)(a+5b)}= \\ =\frac{5}{a+5b} \end{gathered}$$

при $a=-8; b=0,6$

$\frac{5}{-8}+5·0,6=\frac{5}{-8+3}=\frac{5}{-5}=-1$

а) Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби представляет собой разность квадратов, а в знаменателе можно вынести общий множитель.

Упростим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ \frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{9} = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{3}\right)^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right) $

Упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $\frac{1}{6}$:

$ \frac{a}{12} + \frac{b}{18} = \frac{1}{6}\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right) $

Теперь все выражение можно записать в виде:

$ \frac{\left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right)}{\frac{1}{6}\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right)} $

Сократим дробь на общий множитель $\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}\right)$. Это возможно, так как при подстановке заданных значений выражение не равно нулю. Получим:

$ \frac{\frac{a}{2} - \frac{b}{3}}{\frac{1}{6}} = 6 \cdot \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right) = 3a - 2b $

Подставим значения $a = \frac{2}{3}$ и $b = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$ 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 $

Ответ: 3

б) Сначала упростим данное выражение. Представим десятичную дробь в числителе в виде обыкновенной и применим формулу разности квадратов в знаменателе.

Преобразуем числитель, зная, что $0,2 = \frac{1}{5}$:

$ 0,2a - b = \frac{1}{5}a - b = \frac{a}{5} - b $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ \frac{a^2}{25} - b^2 = \left(\frac{a}{5}\right)^2 - b^2 = \left(\frac{a}{5} - b\right)\left(\frac{a}{5} + b\right) $

Теперь все выражение можно записать в виде:

$ \frac{\frac{a}{5} - b}{\left(\frac{a}{5} - b\right)\left(\frac{a}{5} + b\right)} $

Сократим дробь на общий множитель $\left(\frac{a}{5} - b\right)$. Это возможно, так как при подстановке заданных значений выражение не равно нулю. Получим:

$ \frac{1}{\frac{a}{5} + b} $

Подставим значения $a = -8$ и $b = 0,6$ в упрощенное выражение:

$ \frac{1}{\frac{-8}{5} + 0,6} = \frac{1}{-1,6 + 0,6} = \frac{1}{-1} = -1 $

Ответ: -1

171. (Для работы в парах.) При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не являются допустимыми?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

a) $\frac{1}{3-{\displaystyle \frac{1}{x-2}}}$

Ответ: при любых значениях, кроме 2 и $2\frac{1}{3}$

б) $\frac{6x}{2+{\displaystyle \frac{1}{x+8}}}$

Ответ: при любых значениях, кроме -8 и $-8\frac{1}{2}$

1)

Чтобы алгебраическое выражение имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели, присутствующие в нем, не обращались в ноль. Данные выражения являются многоэтажными дробями, поэтому у них есть несколько знаменателей.

Сразу, без дополнительных преобразований, можно определить недопустимые значения $x$, которые обращают в ноль знаменатели "внутренних" дробей:

• В выражении а) $\frac{1}{3 - \frac{1}{x-2}}$ есть внутренняя дробь $\frac{1}{x-2}$. Ее знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. Отсюда сразу получаем первое недопустимое значение: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
• В выражении б) $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}$ есть внутренняя дробь $\frac{1}{x+8}$. Ее знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю. Отсюда сразу получаем первое недопустимое значение: $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$.

Чтобы найти другие недопустимые значения $x$, нужно учесть знаменатели "внешних" дробей. Для этого необходимо знаменатель всей дроби приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения и будут остальными недопустимыми значениями для $x$.

а) Найдем, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{1}{3 - \frac{1}{x-2}}$.

Выражение имеет смысл, если выполнены два условия:

1. Знаменатель внутренней дроби не равен нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
2. Знаменатель основной дроби не равен нулю: $3 - \frac{1}{x-2} \neq 0$.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель основной дроби равен нулю, решив уравнение:

$3 - \frac{1}{x-2} = 0$

Перенесем дробь в правую часть:

$3 = \frac{1}{x-2}$

Умножим обе части уравнения на $(x-2)$, при условии, что $x-2 \neq 0$:

$3(x-2) = 1$

$3x - 6 = 1$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

Следовательно, выражение не имеет смысла при $x=2$ и $x=\frac{7}{3}$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=2$ и $x=\frac{7}{3}$.

б) Найдем, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}$.

Выражение имеет смысл, если выполнены два условия:

1. Знаменатель внутренней дроби не равен нулю: $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$.
2. Знаменатель основной дроби не равен нулю: $2 + \frac{1}{x+8} \neq 0$.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель основной дроби равен нулю, решив уравнение:

$2 + \frac{1}{x+8} = 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{1}{x+8} = -2$

Умножим обе части уравнения на $(x+8)$, при условии, что $x+8 \neq 0$:

$1 = -2(x+8)$

$1 = -2x - 16$

$2x = -16 - 1$

$2x = -17$

$x = -\frac{17}{2} = -8,5$

Следовательно, выражение не имеет смысла при $x=-8$ и $x=-8,5$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-8$ и $x=-\frac{17}{2}$.

172. Найдите среднее гармоническое чисел:

а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{5+3}{15}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}=2:\frac{8}{15}= \\ =2·\frac{15}{8}=\frac{15}{4}=3,75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{7}{8}}}= \\ =3:\frac{7}{8}=3·\frac{8}{7}=\frac{24}{7}=3\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{4}{{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}}= \\ =\frac{4}{{\displaystyle \frac{12}{60}}+{\displaystyle \frac{6}{60}}+{\displaystyle \frac{4}{60}}+{\displaystyle \frac{3}{60}}}= \\ =\frac{4}{{\displaystyle \frac{25}{60}}}=4:\frac{25}{60}=4·\frac{60}{25}= \\ =4·\frac{12}{5}=\frac{48}{5}=\frac{96}{10}=9,6 \end{gathered}$$

Среднее гармоническое — это число, обратное среднему арифметическому их обратных. Для набора чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ среднее гармоническое $H$ вычисляется по формуле:

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$

где $n$ — количество чисел в наборе.

а)

Найдём среднее гармоническое чисел 3 и 5. Здесь количество чисел $n=2$, а сами числа $x_1=3$ и $x_2=5$.

1. Сначала вычислим сумму обратных чисел:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$

2. Теперь подставим значения в формулу среднего гармонического:

$H = \frac{2}{\frac{8}{15}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$

Ответ: $3,75$

б)

Найдём среднее гармоническое чисел 2, 4 и 8. Здесь количество чисел $n=3$, а сами числа $x_1=2, x_2=4, x_3=8$.

1. Вычислим сумму обратных чисел. Общий знаменатель равен 8.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

2. Подставим значения в формулу:

$H = \frac{3}{\frac{7}{8}} = 3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$ (или $3\frac{3}{7}$)

в)

Найдём среднее гармоническое чисел 5, 10, 15 и 20. Здесь количество чисел $n=4$, а сами числа $x_1=5, x_2=10, x_3=15, x_4=20$.

1. Вычислим сумму обратных чисел. Наименьший общий знаменатель для 5, 10, 15 и 20 равен 60.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12+6+4+3}{60} = \frac{25}{60}$

Сократим полученную дробь: $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$.

2. Подставим значения в формулу:

$H = \frac{4}{\frac{5}{12}} = 4 \cdot \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$

Ответ: $9,6$

173. Из пункта A в пункт B автобус ехал со скоростью 90 км/ч. На обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до 60 км/ч. Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?

$$\begin{gathered} v_{ср.}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{90}}+{\displaystyle \frac{1}{60}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{2}{180}}+{\displaystyle \frac{3}{180}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{5}{180}}}= \\ =2:\frac{5}{180}=2·\frac{180}{5}=2·36=72(км/ч) \end{gathered}$$

Ответ: 72 км/ч

Для нахождения средней скорости на всём пути следования необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время. Важно помнить, что средняя скорость не является средним арифметическим скоростей, так как время движения на каждом участке пути было разным.

Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно $S$ км. Тогда весь путь, который проехал автобус (туда и обратно), составляет $S + S = 2S$ км.

1. Найдем время $t_1$, затраченное на путь из пункта А в пункт В. Скорость на этом участке была $v_1 = 90$ км/ч.

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{90}$ ч.

2. Найдем время $t_2$, затраченное на обратный путь из пункта В в пункт А. Скорость на этом участке была $v_2 = 60$ км/ч.

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{60}$ ч.

3. Найдем общее время в пути $t_{общ}$, сложив время движения в обе стороны:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{90} + \frac{S}{60}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 90 и 60 равно 180.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{180} + \frac{3 \cdot S}{180} = \frac{2S + 3S}{180} = \frac{5S}{180}$ ч.

4. Теперь вычислим среднюю скорость $v_{ср}$, разделив весь пройденный путь на всё затраченное время:

$v_{ср} = \frac{2S}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{5S}{180}}$

Расстояние $S$ сокращается, и мы получаем:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{5}{180}} = 2 \cdot \frac{180}{5} = \frac{360}{5} = 72$ км/ч.

Ответ: средняя скорость автобуса на всём пути следования равна 72 км/ч.

174. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно?

$$\begin{gathered} t=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{5}{12}}}= \\ =2:\frac{5}{12}=2·\frac{12}{5}=\frac{24}{5}=\frac{48}{10}=4,8 \left(\text{ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: за 4,8 ч

Для решения этой задачи необходимо последовательно найти производительность каждого работника, их общую производительность и затем время, которое потребуется для выполнения двух заказов.

1. Найдём производительность мастера.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем весь заказ за 1. Мастер выполняет один заказ за 4 часа, значит, его производительность составляет:

$P_{мастера} = \frac{1}{4}$ заказа в час.

2. Найдём производительность ученика.

Ученик выполняет один заказ за 6 часов. Его производительность составляет:

$P_{ученика} = \frac{1}{6}$ заказа в час.

3. Найдём совместную производительность.

При совместной работе производительности мастера и ученика складываются:

$P_{совместная} = P_{мастера} + P_{ученика} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Приведём дроби к общему знаменателю 12:

$P_{совместная} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ заказа в час.

Это значит, что работая вместе, за один час они выполнят $\frac{5}{12}$ часть одного заказа.

4. Найдём время на выполнение двух заказов.

Общий объём работы, который необходимо выполнить, равен 2 заказам. Чтобы найти время ($t$), нужно разделить объём работы на совместную производительность:

$t = \frac{\text{Объём работы}}{P_{совместная}} = \frac{2}{\frac{5}{12}}$

Для деления на дробь, мы умножаем на дробь, обратную делителю:

$t = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ часа.

5. Переведём полученное время в более удобный формат (часы и минуты).

Выделим целую часть из дроби $\frac{24}{5}$:

$\frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$ часа.

Теперь переведём дробную часть ($\frac{4}{5}$ часа) в минуты. В одном часе 60 минут:

$\frac{4}{5} \text{ часа} = \frac{4}{5} \cdot 60 \text{ минут} = 4 \cdot 12 \text{ минут} = 48 \text{ минут}$.

Таким образом, для выполнения двух заказов, работая совместно, мастеру и ученику потребуется 4 часа 48 минут.

Ответ: 4 часа 48 минут.