Страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

192. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и b см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см³. Выразите формулой зависимость b от а. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

$$\begin{gathered} a·b·20=120 \\ ab=6 \end{gathered}$$
$b=\frac{6}{a}$ - обратная пропорциональность

Область определения функции: a>0

Выразите формулой зависимость b от a.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ и $w$ – стороны основания, а $h$ – высота. В нашей задаче стороны основания равны $a$ см и $b$ см, высота $h = 20$ см, а объём $V = 120$ см?. Подставим известные значения в формулу объёма: $120 = a \cdot b \cdot 20$ Чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, решим это уравнение относительно $b$: $20ab = 120$ Разделим обе части уравнения на $20a$ (мы можем это сделать, так как $a$, будучи длиной стороны, не может быть равно нулю): $b = \frac{120}{20a}$ $b = \frac{6}{a}$

Ответ: $b = \frac{6}{a}$

Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью?

Зависимость между двумя переменными называется обратной пропорциональностью, если она может быть выражена формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ – некоторое число, не равное нулю, называемое коэффициентом пропорциональности. Полученная нами формула $b = \frac{6}{a}$ полностью соответствует этому определению, где $y$ – это $b$, $x$ – это $a$, а коэффициент пропорциональности $k=6$. Следовательно, зависимость $b$ от $a$ является обратной пропорциональностью.

Ответ: Да, является.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента (в данном случае, переменной $a$). С математической точки зрения, функция $b(a) = \frac{6}{a}$ определена для всех $a \ne 0$. Однако, в контексте данной задачи, переменная $a$ представляет собой длину стороны основания параллелепипеда. Длина не может быть отрицательной или равной нулю. Следовательно, $a$ должно быть строго больше нуля. Таким образом, область определения функции с учётом физического смысла задачи – это все положительные числа.

Ответ: $a > 0$, или в виде интервала $(0; +\infty)$.

Постройте график.

Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Так как область определения функции $a > 0$, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая находится в первой координатной четверти. Для построения графика составим таблицу значений:

Нанесём эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Ось абсцисс будет осью $a$, а ось ординат — осью $b$.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти.

193. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку:

a) A(8; 0,125)

$0,125=\frac{k}{8}; k=8·0,125=1; y=\frac{1}{x}$

б) B($\frac{2}{3}; 1\frac{4}{5}$)

$$\begin{gathered} 1\frac{4}{5}=\frac{k}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}; k=\frac{2}{3}·1\frac{4}{5}=\frac{2}{3}·\frac{9}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}=1,2 \\ y=\frac{1,2}{x} \end{gathered}$$

в) C(-25; -0,2)

$-0,2=\frac{k}{-25}; k=-0,2·(-25)=5; y=\frac{5}{x}$

а) Обратная пропорциональность задается формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Чтобы найти этот коэффициент, воспользуемся тем, что график функции проходит через точку A(8; 0,125). Из этого следует, что $k = x \cdot y$.

Подставим координаты точки A ($x=8, y=0,125$) в это выражение:

$k = 8 \cdot 0,125$

Поскольку десятичная дробь $0,125$ равна обыкновенной дроби $\frac{1}{8}$, вычисление упрощается:

$k = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$

Теперь подставим найденное значение $k=1$ в исходную формулу, чтобы получить искомую зависимость.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$

б) Аналогично найдем формулу для функции, график которой проходит через точку B($\frac{2}{3}$; $1\frac{4}{5}$).

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{4}{5}$ в неправильную дробь:

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь вычислим коэффициент $k$ по формуле $k = x \cdot y$, используя $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{9}{5}$:

$k = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{18}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$k = \frac{6}{5}$

Подставляем значение $k$ в общую формулу $y = \frac{k}{x}$. Искомую зависимость можно записать как $y = \frac{6/5}{x}$ или, что более удобно, $y = \frac{6}{5x}$.

Ответ: $y = \frac{6}{5x}$

в) Найдем формулу для функции, график которой проходит через точку C(-25; -0,2).

Вычислим коэффициент $k$, используя координаты $x = -25$ и $y = -0,2$:

$k = x \cdot y = (-25) \cdot (-0,2)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Вычислим $25 \cdot 0,2$:

$k = 25 \cdot 0,2 = 25 \cdot \frac{2}{10} = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$

Подставив $k=5$ в общую формулу, получаем искомую зависимость.

Ответ: $y = \frac{5}{x}$

194. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы:

а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?

б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?

в) Каково расстояние между пунктами А и В?

a) v=80 км/ч; t=1ч

v=25 км/ч; t=$3\frac{1}{5}$ч=3ч 12мин

v=40 км/ч; t=2ч

б) t=1ч, v=80 км/ч

t=4ч; v=20 км/ч

t=8ч; v=10 км/ч

t=16ч; v=5 км/ч

в) $s=vt=80·1=20·4=8·10=5·16=80 \left(\text{км}\right)$

а) Для ответа на этот вопрос воспользуемся графиком. Найдём на горизонтальной оси, отвечающей за скорость ($v$, км/ч), указанные значения и определим соответствующее им время ($t$, ч) на вертикальной оси.

• При скорости 80 км/ч: Находим на оси $v$ отметку 80. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $t$. Получаем значение $t=2$. Таким образом, путь займет 2 часа.
• При скорости 25 км/ч: Находим на оси $v$ отметку 25 (это середина между 20 и 30, или первая малая клетка после 20). Поднимаемся до графика и определяем соответствующее значение $t$. Оно находится между 6 и 7 часами. Для точного расчета можно заметить, что зависимость является обратной пропорциональностью $t = S/v$, где $S$ - расстояние. Из точки (40, 4) на графике находим расстояние: $S = 40 \cdot 4 = 160$ км. Тогда время для скорости 25 км/ч составит $t = 160 / 25 = 6.4$ часа.
• При скорости 40 км/ч: Находим на оси $v$ отметку 40. Соответствующее значение на оси $t$ равно 4. Путь займет 4 часа.

Ответ: при скорости 80 км/ч потребуется 2 ч; при 25 км/ч – 6.4 ч; при 40 км/ч – 4 ч.

б) Для ответа на этот вопрос выполним обратную операцию. Найдём на вертикальной оси времени ($t$, ч) указанные значения и определим соответствующую им скорость ($v$, км/ч) на горизонтальной оси.

• За 1 ч: Находим на оси $t$ отметку 1. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $v$. Точное значение сложно определить по графику. Однако мы знаем, что расстояние $S = 160$ км (из пункта а). Тогда скорость $v = S/t = 160/1 = 160$ км/ч.
• За 4 ч: Находим на оси $t$ отметку 4. Соответствующее значение на оси $v$ равно 40. Нужна скорость 40 км/ч.
• За 8 ч: Находим на оси $t$ отметку 8. Соответствующее значение на оси $v$ равно 20. Нужна скорость 20 км/ч.
• За 16 ч: Находим на оси $t$ отметку 16. Соответствующее значение на оси $v$ равно 10. Нужна скорость 10 км/ч.

Ответ: чтобы добраться за 1 ч, нужна скорость 160 км/ч; за 4 ч – 40 км/ч; за 8 ч – 20 км/ч; за 16 ч – 10 км/ч.

в) Расстояние между пунктами А и В ($S$) можно найти по формуле $S = v \cdot t$, используя любую точку с графика. График показывает зависимость времени от скорости для одного и того же расстояния, поэтому произведение $v \cdot t$ будет постоянным.

Выберем удобную точку на графике, например, где $v = 40$ км/ч. Из графика для этой скорости время $t = 4$ ч.

Вычислим расстояние:

$S = 40 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 160 \text{ км}$.

Для проверки можно взять другую точку, например, $v = 20$ км/ч и $t = 8$ ч:

$S = 20 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 160 \text{ км}$.

Расчеты подтверждают, что расстояние постоянно.

Ответ: расстояние между пунктами А и В равно 160 км.

195. Определите знак числа k, зная, что график функции y =kx расположен:

а) в первой и третьей координатных четвертях;

б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

$y=\frac{k}{x}$

a) k>0;

б) k<0

а) Знак числа $k$ в функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ определяет, в каких координатных четвертях расположен ее график (гипербола). Если график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, это означает, что знаки координат $x$ и $y$ для любой точки на графике совпадают.
В первой четверти: $x > 0$ и $y > 0$. Из уравнения $k = x \cdot y$ следует, что $k$ будет произведением двух положительных чисел, то есть $k > 0$.
В третьей четверти: $x < 0$ и $y < 0$. Из уравнения $k = x \cdot y$ следует, что $k$ будет произведением двух отрицательных чисел, что также дает положительный результат, то есть $k > 0$.
Следовательно, если график функции расположен в первой и третьей четвертях, число $k$ положительно.
Ответ: $k > 0$.

б) Если график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен во второй и четвёртой координатных четвертях, это означает, что знаки координат $x$ и $y$ для любой точки на графике противоположны.
Во второй четверти: $x < 0$ и $y > 0$. Из уравнения $k = x \cdot y$ следует, что $k$ будет произведением отрицательного и положительного чисел, то есть $k < 0$.
В четвёртой четверти: $x > 0$ и $y < 0$. Из уравнения $k = x \cdot y$ следует, что $k$ будет произведением положительного и отрицательного чисел, что также дает отрицательный результат, то есть $k < 0$.
Следовательно, если график функции расположен во второй и четвёртой четвертях, число $k$ отрицательно.
Ответ: $k < 0$.

196. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:

Укажите эту функцию.

Выберем на графике функции точку с координатами (2;-1,5) и подставим в функцию $y=\frac{k}{x}.$ Получим:

$-1,5=\frac{k}{2}; k=-3; y=-\frac{3}{x}$

Ответ: 2

Все представленные функции являются обратными пропорциональностями вида $y = \frac{k}{x}$, графиком которых является гипербола.

Сначала определим знак коэффициента $k$. Ветви гиперболы на данном графике расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Такое расположение соответствует отрицательному значению коэффициента $k$ ($k < 0$).

Рассмотрим предложенные варианты:
1. $y = -\frac{5}{x}$ ($k=-5$)
2. $y = -\frac{3}{x}$ ($k=-3$)
3. $y = \frac{3}{x}$ ($k=3$)
4. $y = \frac{5}{x}$ ($k=5$)

Поскольку $k$ должен быть отрицательным, варианты 3 и 4, где $k > 0$, не подходят. Остаются варианты 1 и 2.

Чтобы выбрать между функциями $y = -\frac{5}{x}$ и $y = -\frac{3}{x}$, возьмем с графика любую точку с легко читаемыми целыми координатами. Например, на графике отчетливо видна точка с координатами $(3, -1)$.

Теперь подставим координаты этой точки в уравнения оставшихся функций:

1) Проверяем функцию $y = -\frac{5}{x}$:
Подставляем $x=3$ и $y=-1$: $-1 = -\frac{5}{3}$. Это равенство неверно.

2) Проверяем функцию $y = -\frac{3}{x}$:
Подставляем $x=3$ и $y=-1$: $-1 = -\frac{3}{3}$, что упрощается до $-1 = -1$. Это равенство верно.

Для дополнительной проверки можно взять еще одну точку, например, $(-1, 3)$.
Подставим в $y = -\frac{3}{x}$: $3 = -\frac{3}{-1}$, что упрощается до $3=3$. Равенство также верно.

Таким образом, график на рисунке соответствует функции $y = -\frac{3}{x}$.

Ответ: 2. $y = -\frac{3}{x}$