Страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

197. Установите соответствие между функциями и их графиками (рис. 9).

a) -1

б) -3

в) -2

г) -4

а) Функция $y = \frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=6$. Поскольку коэффициент $k$ положительный ($k>0$), ветви графика (гиперболы) располагаются в I и III координатных четвертях. Этому условию соответствуют графики 1 и 3. Значение коэффициента $k$ влияет на то, как сильно гипербола "прижата" к осям координат. Чем больше $|k|$, тем дальше от осей находятся ветви гиперболы. Сравнивая с функцией из пункта б) $y = \frac{1}{6x}$, где $k = \frac{1}{6}$, видим, что $6 > \frac{1}{6}$. Следовательно, график функции $y = \frac{6}{x}$ расположен дальше от осей. Этому описанию соответствует график 1. Для проверки можно подставить в функцию контрольную точку с графика 1, например, точку $(2, 3)$. Получаем $3 = \frac{6}{2}$, что является верным равенством.
Ответ: 1.

б) Функция $y = \frac{1}{6x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = \frac{1}{6}$. Так как коэффициент $k$ положительный ($k>0$), ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях, как и в случае а). Однако, здесь коэффициент $k = \frac{1}{6}$ меньше, чем $k=6$ в функции а). Это означает, что ветви гиперболы будут расположены ближе к осям координат. Сравнивая графики 1 и 3, видим, что график 3 расположен ближе к осям. Для проверки можно подставить в функцию контрольную точку с графика 3. Например, при $x=1$ значение $y$ должно быть $y=\frac{1}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6}$. Точка $(1, \frac{1}{6})$ действительно лежит на графике 3.
Ответ: 3.

в) Функция $y = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-6$. Поскольку коэффициент $k$ отрицательный ($k<0$), ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях. Этому условию соответствуют графики 2 и 4. Аналогично пункту а), модуль коэффициента $|k|=|-6|=6$. Сравнивая с функцией из пункта г) $y = -\frac{1}{6x}$, где $k = -\frac{1}{6}$ и $|k|=\frac{1}{6}$, видим, что $6 > \frac{1}{6}$. Следовательно, график функции $y = -\frac{6}{x}$ расположен дальше от осей координат. Этому описанию соответствует график 2. Для проверки возьмем точку $(-2, 3)$ с графика 2. Подставляем в функцию: $3 = -\frac{6}{-2}$, что является верным равенством.
Ответ: 2.

г) Функция $y = -\frac{1}{6x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -\frac{1}{6}$. Так как коэффициент $k$ отрицательный ($k<0$), ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях. Модуль коэффициента $|k|=|-\frac{1}{6}|=\frac{1}{6}$. Это значение меньше, чем у функции в) ($|k|=6$), поэтому ветви гиперболы будут расположены ближе к осям координат. Сравнивая графики 2 и 4, видим, что график 4 расположен ближе к осям. Для проверки возьмем точку с графика 4, например, при $x=-1$ значение $y$ должно быть $y = -\frac{1}{6 \cdot (-1)} = \frac{1}{6}$. Точка $(-1, \frac{1}{6})$ действительно лежит на графике 4.
Ответ: 4.

198. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:

a) $\frac{5{(x-y)}^2}{{(3y-3x)}^2}=\frac{5{(x-y)}^2}{(3{(y-x))}^2}=\frac{5{(x-y)}^2}{9{(x-y)}^2}=\frac{5}{9}$

б) $\frac{{(3x-6y)}^2}{4{(2y-x)}^2}=\frac{(3{(x-2y))}^2}{4{(2y-x)}^2}=\frac{9{(2y-x)}^2}{4{(2y-x)}^2}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$

а)

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2} $ не зависит от значений переменных, нужно упростить это выражение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$ (3y-3x)^2 \neq 0 $

$ 3y - 3x \neq 0 $

$ 3(y - x) \neq 0 $

$ y \neq x $

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель 3 за скобки внутри квадрата:

$ (3y-3x)^2 = (3(y-x))^2 $

Используя свойство степени $ (ab)^n = a^n b^n $, получаем:

$ (3(y-x))^2 = 3^2(y-x)^2 = 9(y-x)^2 $

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{5(x-y)^2}{9(y-x)^2} $

Заметим, что выражения $ (x-y) $ и $ (y-x) $ противоположны, то есть $ (x-y) = -(y-x) $. При возведении в квадрат это свойство дает нам равенство:

$ (x-y)^2 = (-(y-x))^2 = (-1)^2 (y-x)^2 = (y-x)^2 $

Теперь мы можем сократить дробь, так как $ (x-y)^2 = (y-x)^2 $ и, согласно ОДЗ, это выражение не равно нулю:

$ \frac{5(x-y)^2}{9(y-x)^2} = \frac{5\cancel{(y-x)^2}}{9\cancel{(y-x)^2}} = \frac{5}{9} $

Результатом является число, не зависящее от $ x $ и $ y $, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{5}{9} $.

б)

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{(3x-6y)^2}{4(2y-x)^2} $ не зависит от значений переменных, нужно упростить это выражение.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ 4(2y-x)^2 \neq 0 $

$ (2y-x)^2 \neq 0 $

$ 2y-x \neq 0 $

$ x \neq 2y $

Преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$ (3x-6y)^2 = (3(x-2y))^2 $

Используя свойство степени $ (ab)^n = a^n b^n $, получаем:

$ (3(x-2y))^2 = 3^2(x-2y)^2 = 9(x-2y)^2 $

Подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$ \frac{9(x-2y)^2}{4(2y-x)^2} $

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $. Для наших выражений это означает:

$ (x-2y)^2 = (-(2y-x))^2 = (2y-x)^2 $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (согласно ОДЗ, они не равны нулю):

$ \frac{9(x-2y)^2}{4(2y-x)^2} = \frac{9\cancel{(2y-x)^2}}{4\cancel{(2y-x)^2}} = \frac{9}{4} $

Результатом является число, не зависящее от $ x $ и $ y $, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{9}{4} $.

199. (Задача-исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}$

Приведём к общему знаменателю правую часть равенства

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)+b(x-5)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{ax+2a+bx-5b}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{(ax+bx)+(2a-5b)}{(x-5)(x+2)}=\frac{(a+b)x+(2a-5b)}{(x-5)(x+2)} \end{gathered}$$

Учитывая левую часть равенства, составим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{cc}a+b=5& /·5\\ 2a-5b=31& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}5a+5b=25\\ 2a-5b=31\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}7a=56\\ a+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=8\\ 8+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=8\\ b=-3\end{array}\right.$

При a=8 и b=-3 равенство является тождеством.

Проверим полученный ответ.

$$\begin{gathered} \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{8}{x-5}+\frac{-3}{x+2} \\ \frac{8}{x-5}-\frac{3}{x+2}=\frac{8(x+2)-3(x-5)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{8x+16-3x+15}{(x-5)(x+2)}=\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} \end{gathered}$$

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

Чтобы данное равенство было тождеством, оно должно выполняться для всех допустимых значений переменной $x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного равенства определяется условием, что знаменатели не равны нулю, то есть $x - 5 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq 5$ и $x \neq -2$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$ необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Привести дроби в правой части равенства к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(x-5)(x+2)$.
2. После приведения к общему знаменателю, дроби в левой и правой частях равенства будут иметь одинаковые знаменатели.
3. Для того чтобы равенство было тождеством, числители этих дробей также должны быть тождественно равны. То есть, многочлен в числителе слева должен быть равен многочлену в числителе справа для всех $x$ из ОДЗ.
4. Приравняв числители, мы получим равенство двух многочленов. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$.
5. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$. Решив эту систему, мы найдем искомые значения.

Ответ: Нужно привести правую часть к общему знаменателю и приравнять числители левой и правой частей. Затем, используя условие равенства многочленов (равенство коэффициентов при одинаковых степенях $x$), составить и решить систему уравнений относительно $a$ и $b$.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

Исходное равенство: $$ \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} $$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-5)(x+2)$: $$ \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)} + \frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} $$

Теперь приравняем исходное равенство к полученному выражению: $$ \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} $$

Так как знаменатели равны, для выполнения тождества должны быть равны и числители: $$ 5x + 31 = a(x+2) + b(x-5) $$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые по степеням $x$: $$ 5x + 31 = ax + 2a + bx - 5b $$ $$ 5x + 31 = (a+b)x + (2a - 5b) $$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

• Коэффициенты при $x^1$: $a+b = 5$
• Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $2a - 5b = 31$

Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 5b = 31 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 5-b$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$ 2(5-b) - 5b = 31 $$ $$ 10 - 2b - 5b = 31 $$ $$ 10 - 7b = 31 $$ $$ -7b = 31 - 10 $$ $$ -7b = 21 $$ $$ b = \frac{21}{-7} = -3 $$

Теперь найдем $a$: $$ a = 5 - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 $$

Ответ: $a=8$, $b=-3$.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Равенство является тождеством при значениях $a=8$ и $b=-3$.

Проверка: Подставим найденные значения $a=8$ и $b=-3$ в правую часть исходного равенства и выполним преобразования: $$ \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{8}{x-5} + \frac{-3}{x+2} = \frac{8}{x-5} - \frac{3}{x+2} $$

Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{8(x+2) - 3(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{8x + 16 - 3x + 15}{(x-5)(x+2)} = \frac{(8-3)x + (16+15)}{(x-5)(x+2)} = \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} $$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, найденные значения $a$ и $b$ верны.

Ответ: Равенство является тождеством при $a=8$ и $b=-3$.