Страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

175. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, затем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?

$$\begin{gathered} v_{ср.}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{20}{180}}+{\displaystyle \frac{15}{180}}+{\displaystyle \frac{18}{180}}}= \\ =\frac{3}{{\displaystyle \frac{53}{180}}}=3:\frac{53}{180}=3·\frac{180}{53}=\frac{540}{53}=10\frac{10}{53}\left(\text{км/ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $10\frac{10}{53} \text{км/ч}$

Для нахождения средней скорости необходимо разделить весь пройденный путь на всё затраченное время. Средняя скорость не является средним арифметическим значением скоростей.

Обозначим дистанцию, которую школьник проходил каждый раз, переменной $S$.

Поскольку школьник прошёл эту дистанцию трижды, общий пройденный путь $S_{общ}$ равен:
$S_{общ} = S + S + S = 3S$

Далее найдём время, затраченное на каждый из трёх участков пути, используя формулу времени $t = \frac{\text{путь}}{\text{скорость}}$.

• Время на первом участке (скорость $v_1 = 9$ км/ч): $t_1 = \frac{S}{9}$ ч.
• Время на втором участке (скорость $v_2 = 12$ км/ч): $t_2 = \frac{S}{12}$ ч.
• Время на третьем участке (скорость $v_3 = 10$ км/ч): $t_3 = \frac{S}{10}$ ч.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок:
$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{9} + \frac{S}{12} + \frac{S}{10}$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 9, 12 и 10 равно 180.
$t_{общ} = \frac{20 \cdot S}{180} + \frac{15 \cdot S}{180} + \frac{18 \cdot S}{180} = \frac{20S + 15S + 18S}{180} = \frac{53S}{180}$ ч.

Теперь мы можем найти среднюю скорость $v_{ср}$, используя основную формулу:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{3S}{\frac{53S}{180}}$

Величина дистанции $S$ в числителе и знаменателе сокращается:
$v_{ср} = \frac{3}{\frac{53}{180}} = 3 \cdot \frac{180}{53} = \frac{540}{53}$ км/ч.

Для более наглядного представления результата, выразим его в виде смешанной дроби:
$\frac{540}{53} = 10 \frac{10}{53}$ км/ч.

Ответ: $10 \frac{10}{53}$ км/ч.

176. Найдите координаты точек пересечения с осью x и осью y графика функции: a) y = 12x - 2; б) y = –0,4x + 2. Постройте график этой функции.

a) $y=\frac{1}{2}x-2$

С осью x: $y=0; \frac{1}{2}x-2=0;$ $\frac{1}{2}x=2; x=4$

(4;0)

С осью y: $x=0; y=\frac{1}{2}·0-2=-2$

(0;-2)

б) $y=-0,4x+2$

С осью x: $y=0; -0,4x+2=0; -0,4x=-2;$ $x=-2:(-0,4); x=20:4; x=5$

(5;0)

С осью y: $x=0; y=-0,4·0+2=2$

(0;2)

а) $y = \frac{1}{2}x - 2$

1. Нахождение координат точек пересечения с осями координат.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью $y$ (осью ординат), необходимо подставить значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; -2)$.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью $x$ (осью абсцисс), необходимо подставить значение $y=0$ в уравнение функции:

$0 = \frac{1}{2}x - 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$\frac{1}{2}x = 2$

$x = 2 \cdot 2 = 4$

Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(4; 0)$.

2. Построение графика функции.

Данная функция $y = \frac{1}{2}x - 2$ является линейной, следовательно, ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек. Мы уже определили две такие точки — это точки пересечения с осями координат: $(0; -2)$ и $(4; 0)$.

Для построения графика нужно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: Координаты точек пересечения: с осью $x$ — $(4; 0)$, с осью $y$ — $(0; -2)$. График функции представляет собой прямую, проходящую через эти две точки.

б) $y = -0.4x + 2$

1. Нахождение координат точек пересечения с осями координат.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью $y$, подставляем $x=0$ в уравнение:

$y = -0.4 \cdot 0 + 2 = 2$

Следовательно, точка пересечения с осью $y$ — это $(0; 2)$.

Чтобы найти точку пересечения с осью $x$, подставляем $y=0$ в уравнение:

$0 = -0.4x + 2$

Решаем уравнение для $x$:

$0.4x = 2$

$x = \frac{2}{0.4} = \frac{20}{4} = 5$

Следовательно, точка пересечения с осью $x$ — это $(5; 0)$.

2. Построение графика функции.

Функция $y = -0.4x + 2$ также является линейной, и ее график — прямая. Для построения графика используем найденные точки пересечения с осями: $(0; 2)$ и $(5; 0)$.

Отметив эти две точки на координатной плоскости и соединив их прямой линией, мы получим график данной функции.

Ответ: Координаты точек пересечения: с осью $x$ — $(5; 0)$, с осью $y$ — $(0; 2)$. График функции представляет собой прямую, проходящую через эти две точки.

177. Напишите уравнение прямой: а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой y = 3x; б) проходящей через начало координат и параллельной прямой y = -12x - 8.

a) Так как прямая параллельна прямой y=3x, то k=3. Известно, что прямая проходит через точку (0;4). Значит,

$$\begin{gathered} y=3·0+b=4; b=4 \\ y=3x+4 \end{gathered}$$

б) Если прямая проходит через начало координат, то функция имеет вид: y=kx. Так как прямая параллельна прямой

$$\begin{gathered} y=-\frac{1}{2}x-8, \text{то} k=-\frac{1}{2} \\ y=-\frac{1}{2}x \end{gathered}$$

а)

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью OY.

Согласно условию задачи, искомая прямая параллельна прямой $y = 3x$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент для прямой $y = 3x$ равен $k = 3$. Следовательно, для искомой прямой угловой коэффициент также будет равен 3. Ее уравнение будет иметь вид $y = 3x + b$.

Также известно, что прямая проходит через точку с координатами $(0; 4)$. Мы можем подставить эти значения ($x=0$, $y=4$) в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$:

$4 = 3 \cdot 0 + b$

$4 = 0 + b$

$b = 4$

Теперь, когда мы знаем оба коэффициента ($k=3$ и $b=4$), мы можем записать окончательное уравнение прямой.

Ответ: $y = 3x + 4$

б)

В этом случае искомая прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$, и параллельна прямой $y = -\frac{1}{2}x - 8$.

Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент для прямой $y = -\frac{1}{2}x - 8$ равен $k = -\frac{1}{2}$.

Значит, угловой коэффициент искомой прямой также равен $k = -\frac{1}{2}$. Уравнение искомой прямой принимает вид $y = -\frac{1}{2}x + b$.

Поскольку прямая проходит через начало координат $(0; 0)$, подставим эти значения в уравнение для нахождения $b$:

$0 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + b$

$0 = 0 + b$

$b = 0$

Подставляем найденные значения $k$ и $b$ в общее уравнение прямой.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$

178. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида y = kx + b, если:

$y=kx+b$

a) $k>0, b>0$

б) $k<0, b>0$

в) $k<0, b<0$

г) $k=0; b>0$

Функция, заданная формулой $y = kx + b$, называется линейной функцией, и её графиком является прямая линия. Положение этой прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов $k$ и $b$.

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$).
  • Если $k > 0$, функция возрастает, и угол наклона острый (прямая "идёт вверх" слева направо).
  • Если $k < 0$, функция убывает, и угол наклона тупой (прямая "идёт вниз" слева направо).
  • Если $k = 0$, прямая параллельна оси $Ox$ (горизонтальна).
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения прямой с осью ординат (осью $Oy$). Прямая пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0, b)$.
  • Если $b > 0$, точка пересечения лежит выше оси $Ox$.
  • Если $b < 0$, точка пересечения лежит ниже оси $Ox$.
  • Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $k > 0, b > 0$

Поскольку угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что её график направлен вверх при движении слева направо.
Поскольку свободный член $b > 0$, график пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, расположенной выше начала координат (выше оси $Ox$).
Совместив эти два условия, получаем прямую, которая проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График представляет собой возрастающую прямую (наклонена вправо-вверх), пересекающую ось $Oy$ в положительной её части (выше начала координат).

б) $k < 0, b > 0$

Поскольку угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что её график направлен вниз при движении слева направо.
Поскольку свободный член $b > 0$, график пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, расположенной выше начала координат (выше оси $Ox$).
Совместив эти два условия, получаем прямую, которая проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График представляет собой убывающую прямую (наклонена вправо-вниз), пересекающую ось $Oy$ в положительной её части (выше начала координат).

в) $k < 0, b < 0$

Поскольку угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей. График направлен вниз при движении слева направо.
Поскольку свободный член $b < 0$, график пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, расположенной ниже начала координат (ниже оси $Ox$).
Совместив эти два условия, получаем прямую, которая проходит через II, III и IV координатные четверти.

Ответ: График представляет собой убывающую прямую (наклонена вправо-вниз), пересекающую ось $Oy$ в отрицательной её части (ниже начала координат).

г) $k = 0, b > 0$

Поскольку угловой коэффициент $k = 0$, формула функции принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$. Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ будет постоянным и равным $b$.
Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).
Поскольку $b > 0$, эта прямая расположена выше оси $Ox$. Она проходит через I и II координатные четверти.

Ответ: График представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$ и расположенную выше неё.

179. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть x см - одна сторона данного прямоугольника, тогда (x+20)см - вторая сторона прямоугольника. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую-втрое, то периметр нового прямоугольника будет равен 240см.

Получим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(2x+3(x+20))·2=240 \\ 2x+3x+60=120 \\ 5x=60 \\ x=12 \end{gathered}$$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }12+20=32 (\text{см})$

Ответ: 12см и 32см

Пусть меньшая сторона исходного прямоугольника равна $x$ см. Поскольку одна сторона на 20 см больше другой, то большая сторона будет равна $(x + 20)$ см.

Согласно условию, меньшую сторону увеличили вдвое, а большую — втрое. Таким образом, стороны нового прямоугольника стали равны $2x$ см и $3(x + 20)$ см.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — его смежные стороны. Периметр нового прямоугольника равен 240 см. Составим уравнение на основе этих данных:

$2(2x + 3(x + 20)) = 240$

Для решения уравнения сначала разделим обе его части на 2:

$2x + 3(x + 20) = 120$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x + 3x + 60 = 120$

Приведем подобные слагаемые:

$5x + 60 = 120$

Перенесем 60 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x = 120 - 60$

$5x = 60$

Найдем $x$, разделив 60 на 5:

$x = \frac{60}{5}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли меньшую сторону исходного прямоугольника — она равна 12 см.

Теперь найдем большую сторону, прибавив к меньшей 20 см:

$12 + 20 = 32$

Большая сторона исходного прямоугольника равна 32 см.

Проверим: новые стороны будут $2 \cdot 12 = 24$ см и $3 \cdot 32 = 96$ см. Периметр нового прямоугольника: $2(24 + 96) = 2 \cdot 120 = 240$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны данного прямоугольника равны 12 см и 32 см.

180. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов после своего отправления он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?

1) 710-110=600(км) - расстояние, которое прошли скорый и пассажирский поезда вместе;

2) 600:(110+90)=600:200=3(ч) - время, которое был в пути пассажирский поезд

3) 3+1=4(ч) - время, которое был в пути скорый поезд

Ответ: 4ч

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов.

1. Скорый поезд вышел на 1 час раньше пассажирского. Найдем расстояние, которое он проехал за этот час до того, как пассажирский поезд начал движение. Скорость скорого поезда составляет $110 \text{ км/ч}$.

$S_1 = v_{скорого} \times t_1 = 110 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 110 \text{ км}$

2. Теперь, когда пассажирский поезд начал движение, расстояние между поездами сократилось. Вычислим оставшееся расстояние. Изначально между станциями было $710 \text{ км}$.

$S_{оставшееся} = S_{общее} - S_1 = 710 \text{ км} - 110 \text{ км} = 600 \text{ км}$

3. С момента отправления пассажирского поезда оба поезда движутся навстречу друг другу. Найдем их общую скорость, или скорость сближения, которая равна сумме их скоростей. Скорость пассажирского поезда — $90 \text{ км/ч}$.

$v_{сближения} = v_{скорого} + v_{пассажирского} = 110 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 200 \text{ км/ч}$

4. Зная расстояние, которое поездам осталось пройти до встречи ($600 \text{ км}$), и их скорость сближения ($200 \text{ км/ч}$), найдем время, через которое они встретятся. Это время их совместного движения.

$t_{совместное} = \frac{S_{оставшееся}}{v_{сближения}} = \frac{600 \text{ км}}{200 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

5. В задаче спрашивается, через сколько часов после своего отправления скорый поезд встретится с пассажирским. Мы знаем, что он ехал 1 час один, а затем еще 3 часа вместе с пассажирским поездом до момента встречи. Найдем общее время движения скорого поезда.

$T_{скорого} = t_1 + t_{совместное} = 1 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$

Ответ: скорый поезд встретится с пассажирским поездом через 4 часа после своего отправления.