Страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

147. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после выхода лодки у неё испортился мотор, и её течением через 3 ч принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Пусть x км/ч - скорость течения реки, тогда (10-x)км/ч - скорость лодки против течения. Зная, что расстояние, которое прошла лодка против течения за 45мин, равно расстоянию, на которое её отбросило течением и принесло обратно к пристани за 3ч, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (10-x)·\frac{45}{60}=3x \\ (10-x)·\frac{3}{4}=3x \\ 4·3x=3(10-x) \\ 12x=30-3x \\ 12x+3x=30 \\ 15x=30 \\ x=2 \end{gathered}$$

Ответ: 2 км/ч

Обозначим искомую скорость течения реки через $v_{т}$ (в км/ч).

По условию задачи, нам даны:

• Собственная скорость лодки $v_{с} = 10$ км/ч.
• Время движения против течения $t_1 = 45$ мин.
• Время движения по течению (дрейф) $t_2 = 3$ ч.

1. Подготовка данных

Прежде всего, переведем время движения против течения из минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$.

2. Вычисление расстояния

Скорость лодки при движении против течения реки равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{с} - v_{т} = 10 - v_{т} \text{ (км/ч)}$.

За время $t_1$ лодка удалилась от пристани на расстояние $S$:

$S = v_{против} \times t_1 = (10 - v_{т}) \times 0.75 \text{ (км)}$.

После поломки мотора лодка дрейфовала по течению. Ее скорость была равна скорости течения реки, то есть $v_{т}$. За время $t_2$ ее снесло течением обратно к пристани, то есть она прошла то же самое расстояние $S$:

$S = v_{т} \times t_2 = v_{т} \times 3 \text{ (км)}$.

3. Составление и решение уравнения

Поскольку расстояние, которое лодка проплыла от пристани, и расстояние, которое ее снесло обратно, равны, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$:

$(10 - v_{т}) \times 0.75 = 3 \times v_{т}$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $v_{т}$:

$10 \times 0.75 - 0.75 \times v_{т} = 3v_{т}$

$7.5 - 0.75v_{т} = 3v_{т}$

Перенесем слагаемые, содержащие $v_{т}$, в одну сторону:

$7.5 = 3v_{т} + 0.75v_{т}$

$7.5 = 3.75v_{т}$

Найдем $v_{т}$:

$v_{т} = \frac{7.5}{3.75} = 2$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

148. Из формулы y = ab2c выразите:

а) переменную с через а, b и y;

б) переменную а через b, c и y.

$y=\frac{ab}{2c}$

a) $2cy=ab$

$c=\frac{ab}{2y}$

б) $ab=2yc$

$a=\frac{2yc}{b}$

а) Чтобы выразить переменную $c$ из исходной формулы $y = \frac{ab}{2c}$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования. Сначала умножим обе части равенства на знаменатель $2c$, чтобы избавиться от дроби. Это преобразование предполагает, что $c \neq 0$.
$y \cdot 2c = \frac{ab}{2c} \cdot 2c$
$2cy = ab$
Теперь, чтобы изолировать переменную $c$, разделим обе части полученного уравнения на $2y$. Это преобразование предполагает, что $y \neq 0$.
$\frac{2cy}{2y} = \frac{ab}{2y}$
Сократив одинаковые множители в левой части, получаем выражение для $c$:
$c = \frac{ab}{2y}$
Ответ: $c = \frac{ab}{2y}$

б) Чтобы выразить переменную $a$ из той же формулы $y = \frac{ab}{2c}$, начнем с такого же первого шага: умножим обе части на $2c$.
$y \cdot 2c = ab$
Для удобства поменяем местами левую и правую части уравнения:
$ab = 2cy$
Теперь, чтобы изолировать переменную $a$, разделим обе части уравнения на $b$. Это преобразование предполагает, что $b \neq 0$.
$\frac{ab}{b} = \frac{2cy}{b}$
Сократив $b$ в левой части, получаем искомое выражение для $a$:
$a = \frac{2cy}{b}$
Ответ: $a = \frac{2cy}{b}$

149. В каких координатных четвертях расположен график функции y = kx, если k > 0? если k ‹ 0?

y=kx

если k>0, то график функции расположен в I и III четвертях;

если k>0, то график функции расположен во II и IV четвертях;

если $k > 0$

Функция $y = kx$ задает прямую пропорциональность. Ее график — это прямая линия, которая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и показывает наклон прямой.
Если $k$ — положительное число ($k > 0$), то при увеличении $x$ значение $y$ также будет увеличиваться. Давайте проанализируем, в каких четвертях будут находиться точки графика в зависимости от знака $x$.
1. Когда $x > 0$ (положительная часть оси абсцисс), значение $y$ вычисляется как произведение двух положительных чисел ($k$ и $x$), поэтому $y$ тоже будет положительным ($y > 0$). Точки с положительными $x$ и $y$ находятся в I координатной четверти.
2. Когда $x < 0$ (отрицательная часть оси абсцисс), значение $y$ вычисляется как произведение положительного числа $k$ и отрицательного числа $x$, поэтому $y$ будет отрицательным ($y < 0$). Точки с отрицательными $x$ и $y$ находятся в III координатной четверти.
Следовательно, при $k > 0$ график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: В I и III координатных четвертях.

если $k < 0$

Если $k$ — отрицательное число ($k < 0$), то зависимость между $x$ и $y$ является обратной: при увеличении $x$ значение $y$ будет уменьшаться. График функции по-прежнему является прямой, проходящей через начало координат.
Проанализируем знаки координат для этого случая:
1. Когда $x > 0$ (положительная часть оси абсцисс), значение $y$ вычисляется как произведение отрицательного числа $k$ и положительного числа $x$, поэтому $y$ будет отрицательным ($y < 0$). Точки с положительным $x$ и отрицательным $y$ находятся в IV координатной четверти.
2. Когда $x < 0$ (отрицательная часть оси абсцисс), значение $y$ вычисляется как произведение двух отрицательных чисел ($k$ и $x$), поэтому $y$ будет положительным ($y > 0$). Точки с отрицательным $x$ и положительным $y$ находятся во II координатной четверти.
Следовательно, при $k < 0$ график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: Во II и IV координатных четвертях.