Страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

150. Выполните действия:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2-y^2}{x{y}^2}:\frac{x+y}{xy}= \\ =\frac{(x-y)(x+y)xy}{x{y}^2(x+y)}=\frac{x-y}{y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(\frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3}\right):\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a}\right)= \\ =\frac{am+a^2}{m^3}:\frac{m^2+ma}{a^2}=\frac{a(m+a)·a^2}{m^2·m(m+a)}=\frac{a^3}{m^4} \end{gathered}$$

в) $\frac{ab+b^2}{3}:\frac{b^3}{3a}+\frac{a+b}{b}=\frac{b(a+b)·3a}{3b^3}+\frac{a+b}{b}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{b(a+b)}{b^2}=\frac{a^2+ab+ab+b^2}{b^2}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2}{b^2}=\frac{{(a+b)}^2}{b^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}·\frac{x^2-xy}{5y}=\frac{x-y}{x}-\frac{x(x-y)}{x^2}= \\ =\frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=0 \end{gathered}$$

а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy^2$.

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$.

$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{xy} + \frac{1 \cdot y}{xy} = \frac{x + y}{xy}$

3. Теперь выполним деление. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь. Также разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$(\frac{x^2 - y^2}{xy^2}) : (\frac{x + y}{xy}) = \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+y)$, $x$ и $y$.

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x+y}} = \frac{x-y}{y}$

Ответ: $\frac{x-y}{y}$

б) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a})$

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $m^3$.

$\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a \cdot m}{m^3} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{am + a^2}{m^3} = \frac{a(m+a)}{m^3}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $a^2$.

$\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2}{a^2} + \frac{m \cdot a}{a^2} = \frac{m^2+am}{a^2} = \frac{m(m+a)}{a^2}$

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь.

$(\frac{a(a+m)}{m^3}) : (\frac{m(m+a)}{a^2}) = \frac{a(a+m)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)}$

4. Сократим общий множитель $(a+m)$ и перемножим оставшиеся части.

$\frac{a\cancel{(a+m)}}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m\cancel{(m+a)}} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$

в) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b}$

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Вынесем общий множитель $b$ в числителе первой дроби.

$\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} = \frac{b(a+b)}{3} : \frac{b^3}{3a}$

2. Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим.

$\frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3} = \frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}}2} = \frac{a(a+b)}{b^2}$

3. Теперь выполним сложение с оставшейся дробью.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $b^2$.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2}$

5. Сложим числители и вынесем общий множитель $(a+b)$.

$\frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$

Это выражение также можно записать как $(\frac{a+b}{b})^2$.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

г) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}$

1. По порядку действий сначала выполняем умножение. В числителе второй дроби вынесем $x$ за скобки.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y} = \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x - y)}{5y}$

2. Сократим общие множители $5y$ и $x$.

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$

3. Теперь выполним вычитание.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x}$

4. Вычитая из выражения само это выражение, получаем ноль.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$

Ответ: $0$

151. Выполните действия:

a) $\left(\frac{x}{x+1}+1\right)·\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1} \\ 2) \frac{2x+1}{x+1}·\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{5y^2}{1-y^2}\right):\left(1-\frac{1}{1-y}\right)=-\frac{5y}{1+y}$

$$\begin{gathered} 1) 1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y} \\ 2) \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right)=-\frac{5y^2·(1-y)}{(1-y)(1+y)y}=-\frac{5y}{1+y} \end{gathered}$$

в) $\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}·\frac{a-2}{a+2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{4a-2a+a^2}{2-a}·\frac{a-2}{a+2}=\frac{a^2+2a}{-(a-2)}·\frac{a-2}{a+2}= \\ =-\frac{a(a+2)}{a+2}=-a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-2}{x-3}·\left(x+\frac{x}{2-x}\right)=\frac{x-2}{x-3}·\frac{x(2-x)+x}{2-x}= \\ =\frac{-(2-x)}{x-3}·\frac{2x-x^2+x}{2-x}=-\frac{3x-x^2}{x-3}= \\ =-\frac{x(3-x)}{-(3-x)}=x \end{gathered}$$

а) Сначала выполним действие в скобках, приведя к общему знаменателю $x+1$:
$ \frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} $
Теперь выполним умножение. Так как $1+x = x+1$, мы можем сократить общие множители:
$ \frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1} = \frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1} $
Ответ: $ \frac{2x+1}{2x-1} $

б) Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $1-y$:
$ 1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y} $
Теперь выполним деление. Для этого заменим его на умножение на обратную дробь и разложим знаменатель $1-y^2$ по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.
$ \frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y} $
Сократим общие множители $y$ и $(1-y)$:
$ \frac{5 \cdot \cancel{y^2} \ y}{( \cancel{1-y})(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{1+y} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{5y}{1+y} $
Ответ: $ -\frac{5y}{1+y} $

в) Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2-a$:
$ \frac{4a}{2-a} - a = \frac{4a - a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - 2a + a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a} $
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a(a+2)}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2} $
Используем свойство $a-2 = -(2-a)$ и сократим общие множители $(a+2)$ и $(2-a)$:
$ \frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{2-a}} \cdot \frac{-(\cancel{2-a})}{\cancel{a+2}} = a \cdot (-1) = -a $
Ответ: $ -a $

г) Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2-x$:
$ x + \frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x - x^2 + x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x} = \frac{x(3-x)}{2-x} $
Теперь выполним умножение. Используем свойства $x-2 = -(2-x)$ и $3-x = -(x-3)$ для сокращения дробей:
$ \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(3-x)}{2-x} = \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{x-3}} \cdot \frac{x(-(\cancel{x-3}))}{-(\cancel{x-2})} = \frac{-x}{-1} = x $
Ответ: $ x $

152. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}=\frac{10}{2m+1}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{{(2m+1)}^2-{(2m-1)}^2}{(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{(2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1)}{(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{2·4m}{(2m-1)(2m+1)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{2·4m}{(2m-1)(2m+1)}:\frac{4m}{10m-5}= \\ =\frac{2·4m·5(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)\mathbf{·}4m}=\frac{10}{2m+1} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+3}{x^2+9}·\left(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\right)=\frac{2}{x-3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{{(x+3)}^2+{(x-3)}^2}{(x-3)(x+3)}= \\ =\frac{x^2+6x+9+x^2-6x+9}{(x-3)(x+3}=\frac{2x^2+18}{(x-3)(x+3)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{x+3}{x^2+9}·\frac{2x^2+18}{(x-3)(x+3)}= \\ =\frac{\bcancel{(x+3)}·2\cancel{(x^2+9)}}{\cancel{(x^2+9)}·(x-3)\bcancel{(x+3)}}=\frac{2}{x-3} \end{gathered}$$

а) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$

1. Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(2m-1)(2m+1)$.

$\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}$

2. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2m+1$ и $b = 2m-1$.

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1) - (2m-1)) \cdot ((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1) \cdot (2m+1+2m-1) = 2 \cdot 4m = 8m$

3. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}$

4. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Также разложим на множители знаменатель второй дроби: $10m-5 = 5(2m-1)$.

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m-5}{4m} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $8m$ и $4m$ сокращаются до 2, а $(2m-1)$ сокращается полностью.

$\frac{^2\cancel{8m}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)} \cdot \frac{5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{4m}} = \frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1}$

Ответ: $\frac{10}{2m+1}$

б) $\frac{x+3}{x^2+9} \cdot (\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3})$

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$.

$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$

2. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(x+3)^2 = x^2+6x+9$

$(x-3)^2 = x^2-6x+9$

3. Сложим полученные выражения:

$(x^2+6x+9) + (x^2-6x+9) = 2x^2+18 = 2(x^2+9)$

4. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}$

5. Теперь выполним умножение:

$\frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}$

6. Сократим общие множители: $(x^2+9)$ в числителе и знаменателе, а также $(x+3)$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{x+3}}{\cancel{x^2+9}} \cdot \frac{2(\cancel{x^2+9})}{(x-3)(\cancel{x+3})} = \frac{2}{x-3}$

Ответ: $\frac{2}{x-3}$

153. Выполните действия:

a) $\frac{a^2-9}{2a^2+1}·\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)=6$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}= \\ =\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)}= \\ =\frac{6a^2+18a+a+3+6a^2-18a-a+3}{(a-3)(a+3)}= \\ =\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{a^2-9}{2a^2+1}·\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)}= \\ =\frac{(a-3)(a+3)·6(2a^2+1)}{(2a^2+1)(a-3)(a+3)}=6 \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=10$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}= \\ =\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)}= \\ =\frac{5x^2+25xy+xy+5y^2+5x^2-25xy-xy+5y^2}{(x-5y)(x+5y)}= \\ =\frac{10x^2+10y^2}{(x-5y)(x+5y)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\frac{10x^2+10y^2}{(x-5y)(x+5y)}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}= \\ =\frac{10(x^2+y^2)·(x^2-25y^2)}{(x^2-25y^2)·(x^2+y^2)}=10 \end{gathered}$$

а)
1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$.
$\frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3} = \frac{(6a + 1)(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{(6a - 1)(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}$
Теперь сложим числители, раскрыв скобки:
$\frac{(6a^2 + 18a + a + 3) + (6a^2 - 18a - a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{6a^2 + 19a + 3 + 6a^2 - 19a + 3}{a^2 - 9} = \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$\frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}$
2. Теперь подставим полученное выражение в исходное и выполним умножение:
$\frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}$
3. Сократим одинаковые множители $(a^2 - 9)$ и $(2a^2 + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a^2 - 9}}{\cancel{2a^2 + 1}} \cdot \frac{6(\cancel{2a^2 + 1})}{\cancel{a^2 - 9}} = 6$
Ответ: 6

б)
1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общим знаменателем будет $(x-5y)(x+5y) = x^2 - 25y^2$.
$\frac{5x + y}{x - 5y} + \frac{5x - y}{x + 5y} = \frac{(5x + y)(x + 5y)}{(x - 5y)(x + 5y)} + \frac{(5x - y)(x - 5y)}{(x - 5y)(x + 5y)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{(5x^2 + 25xy + xy + 5y^2) + (5x^2 - 25xy - xy + 5y^2)}{x^2 - 25y^2} = \frac{5x^2 + 26xy + 5y^2 + 5x^2 - 26xy + 5y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 - 25y^2}$
Вынесем общий множитель 10 в числителе:
$\frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2}$
2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} \cdot \frac{x^2 - 25y^2}{x^2 + y^2}$
3. Сократим одинаковые множители $(x^2 + y^2)$ и $(x^2 - 25y^2)$:
$\frac{10(\cancel{x^2 + y^2})}{(\cancel{x^2 - 25y^2})} \cdot \frac{(\cancel{x^2 - 25y^2})}{(\cancel{x^2 + y^2})} = 10$
Ответ: 10