Номер 150, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 150, страница 41.

150. Выполните действия:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2-y^2}{x{y}^2}:\frac{x+y}{xy}= \\ =\frac{(x-y)(x+y)xy}{x{y}^2(x+y)}=\frac{x-y}{y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(\frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3}\right):\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a}\right)= \\ =\frac{am+a^2}{m^3}:\frac{m^2+ma}{a^2}=\frac{a(m+a)·a^2}{m^2·m(m+a)}=\frac{a^3}{m^4} \end{gathered}$$

в) $\frac{ab+b^2}{3}:\frac{b^3}{3a}+\frac{a+b}{b}=\frac{b(a+b)·3a}{3b^3}+\frac{a+b}{b}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{b(a+b)}{b^2}=\frac{a^2+ab+ab+b^2}{b^2}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2}{b^2}=\frac{{(a+b)}^2}{b^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}·\frac{x^2-xy}{5y}=\frac{x-y}{x}-\frac{x(x-y)}{x^2}= \\ =\frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=0 \end{gathered}$$

а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy^2$.

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$.

$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{xy} + \frac{1 \cdot y}{xy} = \frac{x + y}{xy}$

3. Теперь выполним деление. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь. Также разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$(\frac{x^2 - y^2}{xy^2}) : (\frac{x + y}{xy}) = \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+y)$, $x$ и $y$.

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x+y}} = \frac{x-y}{y}$

Ответ: $\frac{x-y}{y}$

б) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a})$

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $m^3$.

$\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a \cdot m}{m^3} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{am + a^2}{m^3} = \frac{a(m+a)}{m^3}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $a^2$.

$\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2}{a^2} + \frac{m \cdot a}{a^2} = \frac{m^2+am}{a^2} = \frac{m(m+a)}{a^2}$

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь.

$(\frac{a(a+m)}{m^3}) : (\frac{m(m+a)}{a^2}) = \frac{a(a+m)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)}$

4. Сократим общий множитель $(a+m)$ и перемножим оставшиеся части.

$\frac{a\cancel{(a+m)}}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m\cancel{(m+a)}} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$

в) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b}$

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Вынесем общий множитель $b$ в числителе первой дроби.

$\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} = \frac{b(a+b)}{3} : \frac{b^3}{3a}$

2. Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим.

$\frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3} = \frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}}2} = \frac{a(a+b)}{b^2}$

3. Теперь выполним сложение с оставшейся дробью.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $b^2$.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2}$

5. Сложим числители и вынесем общий множитель $(a+b)$.

$\frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$

Это выражение также можно записать как $(\frac{a+b}{b})^2$.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

г) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}$

1. По порядку действий сначала выполняем умножение. В числителе второй дроби вынесем $x$ за скобки.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y} = \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x - y)}{5y}$

2. Сократим общие множители $5y$ и $x$.

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$

3. Теперь выполним вычитание.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x}$

4. Вычитая из выражения само это выражение, получаем ноль.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$

Ответ: $0$