Номер 143, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 143, страница 37.

143. Выполните деление:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3x+6y}{x^2-y^2}:\frac{5x+10y}{x^2-2xy+y^2}= \\ =\frac{3(x+2y)·{(x-y)}^2}{(x-y)(x+y)·5(x+2y)}=\frac{3(x-y)}{5(x+y)}=\frac{3x-3y}{5x+5y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a^2+4a+4}{16-b^4}:\frac{4-a^2}{4+b^2}= \\ =\frac{{(a+2)}^2·(4+b^2)}{(4-b^2)(4+b^2)·(2-a)(2+a)}=\frac{a+2}{(4-b^2)(2-a)} \end{gathered}$$

а) $\frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{5x + 10y}$

Теперь разложим числители и знаменатели дробей на множители. Для этого будем использовать формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а также вынесение общего множителя за скобки.

Разложим каждый многочлен:

• В числителе первой дроби вынесем общий множитель 3: $3x + 6y = 3(x + 2y)$
• В знаменателе первой дроби применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
• В числителе второй дроби (который стал знаменателем) вынесем общий множитель 5: $5x + 10y = 5(x + 2y)$
• В знаменателе второй дроби (который стал числителем) применим формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Подставим разложенные на множители выражения обратно в наше выражение:

$\frac{3(x + 2y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^2}{5(x + 2y)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(x + 2y)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Также сократим множитель $(x - y)$. В числителе он в степени 2, а в знаменателе — в степени 1, поэтому после сокращения в числителе останется $(x - y)$ в первой степени.

$\frac{3 \cdot \cancel{(x + 2y)}}{\cancel{(x - y)}(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^{\cancel{2}}}{5 \cdot \cancel{(x + 2y)}} = \frac{3(x - y)}{5(x + y)}$

Ответ: $\frac{3(x - y)}{5(x + y)}$

б) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2}$

Разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и разность квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Разложим каждый многочлен:

• В числителе первой дроби применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$
• В знаменателе первой дроби применим формулу разности квадратов: $16 - b^4 = (4)^2 - (b^2)^2 = (4 - b^2)(4 + b^2)$
• В знаменателе второй дроби применим формулу разности квадратов: $4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$

Выражение $4 + b^2$ является суммой квадратов и далее на действительные множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{(a + 2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)}$

Сократим общие множители. Множитель $(4 + b^2)$ есть в числителе и знаменателе. Множитель $(a + 2)$ также есть в числителе (в квадрате) и в знаменателе (в виде $(2+a)$, что то же самое). Сокращаем одну степень $(a+2)$.

$\frac{(a + 2)^{\cancel{2}}}{(4 - b^2)\cancel{(4 + b^2)}} \cdot \frac{\cancel{4 + b^2}}{(2 - a)\cancel{(2 + a)}} = \frac{a + 2}{(4 - b^2)(2 - a)}$

Знаменатель $(4 - b^2)$ можно также разложить по формуле разности квадратов: $4 - b^2 = (2 - b)(2 + b)$. Подставим это в итоговое выражение:

$\frac{a + 2}{(2 - b)(2 + b)(2 - a)}$

Дальнейшие сокращения невозможны.

Ответ: $\frac{a + 2}{(2 - b)(2 + b)(2 - a)}$