Номер 141, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 141, страница 37.

141. Выполните действие:

a) x² - xy9y² : 2x3y;

б) 2a³ - a²b36b² : 2a - b9b³;

в) (m² - 16n²) : 3m + 12nmn;

г) 9p² - 1pq - 2q : 1 - 3p3p - 6.

a) $\frac{x^2-xy}{9y^2}:\frac{2x}{3y}=\frac{x(x-y)·3y}{9y^2·2x}=\frac{x-y}{3y·2}=\frac{x-y}{6y}$

б) $\frac{2a^3-a^{2}b}{36b^2}:\frac{2a-b}{9b^3}=\frac{a^2(2a-b)·9b^3}{36b^2(2a-b)}=\frac{a^{2}b}{4}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}(m^2-16n^2):\frac{3m+12n}{mn}= \\ =\frac{(m-4n)(m+4n)·mn}{3(m+4n)}= \\ =\frac{(m-4n)mn}{3}=\frac{m^{2}n-4m{n}^2}{3} \end{gathered}$$

г) $\frac{9p^2-1}{pq-2q}:\frac{1-3p}{3p-6}=\frac{(3p-1)(3p+1)·3(p-2)}{q(p-2)(1-3p)}=$
$=\frac{-3(1-3p)(3p+1)}{q(1-3p)}=\frac{-3(3p+1)}{q}=-\frac{9p+3}{q}$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Сначала разложим числитель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки.
$ \frac{x^2 - xy}{9y^2} : \frac{2x}{3y} = \frac{x(x-y)}{9y^2} \cdot \frac{3y}{2x} $
Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе ($x$, $3$ и $y$):
$ \frac{\cancel{x}(x-y)}{3 \cdot \cancel{3} y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{y}}{2\cancel{x}} = \frac{x-y}{3y \cdot 2} = \frac{x-y}{6y} $

Ответ: $\frac{x-y}{6y}$

б) Заменим деление умножением на обратную дробь. Затем разложим числитель первой дроби на множители, вынеся за скобки $a^2$.
$ \frac{2a^3 - a^2b}{36b^2} : \frac{2a-b}{9b^3} = \frac{a^2(2a-b)}{36b^2} \cdot \frac{9b^3}{2a-b} $
Сократим общие множители $(2a-b)$, $9$ и $b^2$:
$ \frac{a^2\cancel{(2a-b)}}{4 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{b^2}} \cdot \frac{\cancel{9}b^{\cancel{3}}b}{\cancel{(2a-b)}} = \frac{a^2 \cdot b}{4} = \frac{a^2b}{4} $

Ответ: $\frac{a^2b}{4}$

в) Представим выражение в скобках в виде дроби и заменим деление умножением на обратную дробь.
$ (m^2 - 16n^2) : \frac{3m + 12n}{mn} = \frac{m^2 - 16n^2}{1} \cdot \frac{mn}{3m + 12n} $
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а в знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $3$ за скобки.
$ \frac{(m-4n)(m+4n)}{1} \cdot \frac{mn}{3(m+4n)} $
Сократим общий множитель $(m+4n)$:
$ \frac{(m-4n)\cancel{(m+4n)}}{1} \cdot \frac{mn}{3\cancel{(m+4n)}} = \frac{mn(m-4n)}{3} $

Ответ: $\frac{mn(m-4n)}{3}$

г) Знак умножения в этом пункте, скорее всего, является опечаткой, так как во всех остальных пунктах задания используется деление, и с делением выражение значительно упрощается. Будем выполнять деление.
$ \frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} : \frac{1-3p}{3p - 6} $
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} \cdot \frac{3p - 6}{1 - 3p} $
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$9p^2 - 1 = (3p-1)(3p+1)$
$pq - 2q = q(p-2)$
$3p - 6 = 3(p-2)$
$1 - 3p = -(3p-1)$
Подставим полученные выражения и выполним сокращение:
$ \frac{(3p-1)(3p+1)}{q(p-2)} \cdot \frac{3(p-2)}{-(3p-1)} = \frac{\cancel{(3p-1)}(3p+1)}{q\cancel{(p-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(p-2)}}{-\cancel{(3p-1)}} = \frac{3p+1}{q} \cdot \frac{3}{-1} = -\frac{3(3p+1)}{q} $

Ответ: $-\frac{3(3p+1)}{q}$