Номер 140, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 140, страница 37.

140. Выполните деление:

a) m² - 3m8x² : 3m8x;

б) 5a²6b³ : a³ab - b²;

в) x² + x³11a² : 4 + 4xa³;

г) 6axm² - 2m : 8ax3m - 6;

д) a² - 3ab3b : (7a - 21b);

е) (x² - 4y²) : 5x - 10yx;

ж) (2a - b)² : 4a³ - ab²3;

з) (10m - 15n) : (2m - 3n)²2m;

a) $\frac{m^2-3m}{8x^2}:\frac{3m}{8x}=\frac{m(m-3)·8x}{8x^2·3m}=\frac{m-3}{3x}$

б) $\frac{5a^2}{6b^3}:\frac{a^3}{ab-b^2}=\frac{5a^2·b(a-b)}{6b^3·a^3}=\frac{5(a-b)}{6a{b}^2}=\frac{5a-5b}{6a{b}^2}$

в) $\frac{x^2+x^3}{11a^2}:\frac{4+4x}{a^3}=\frac{x^2(1+x)·a^3}{11a^2·4(1+x)}=\frac{a{x}^2}{11·4}=\frac{a{x}^2}{44}$

г) $\frac{6ax}{m^2-2m}:\frac{8ax}{3m-6}=\frac{6ax·3(m-2)}{m(m-2)·8ax}=\frac{18ax}{8axm}=\frac{9}{4m}$

д) $\frac{a^2-3ab}{3b}:(7a-21b)=\frac{a(a-3b)}{3b·7(a-3b)}=\frac{a}{21b}$

е) $(x^2-4y^2):\frac{5x-10y}{x}=\frac{(x-2y)(x+2y)·x}{5(x-2y)}=\frac{x^2+2xy}{5}$

$$\begin{gathered} {\mathbf{\text{ж) }}(2a-b)}^2:\frac{4a^3-a{b}^2}{3}=\frac{{(2a-b)}^2·3}{a(4a^2-b^2)}= \\ =\frac{3·{(2a-b)}^2}{a(2a-b)(2a+b)}=\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}=\frac{6a-3b}{2a^2+ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}(10m-15n):\frac{{(2m-3n)}^2}{2m}= \\ =\frac{5(2m-3n)·2m}{{(2m-3n)}^2}=\frac{10m}{2m-3n} \end{gathered}$$

а) Для выполнения деления дробей, мы умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Сначала разложим на множители числитель первой дроби.

$\frac{m^2-3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x} = \frac{m(m-3)}{8x^2} \cdot \frac{8x}{3m}$

Сократим общие множители $m$, $8$ и $x$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{m}(m-3)}{\cancel{8}x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{8x}}{3\cancel{m}} = \frac{m-3}{3x}$

Ответ: $\frac{m-3}{3x}$

б) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Разложим на множители знаменатель второй дроби.

$\frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab-b^2} = \frac{5a^2}{6b^3} \cdot \frac{b(a-b)}{a^3}$

Сократим общие множители $a^2$ и $b$:

$\frac{5\cancel{a^2}}{6b^{\cancel{3}}} \cdot \frac{\cancel{b}(a-b)}{\cancel{a^2} \cdot a} = \frac{5(a-b)}{6ab^2}$

Ответ: $\frac{5(a-b)}{6ab^2}$

в) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби.

$\frac{x^2+x^3}{11a^2} : \frac{4+4x}{a^3} = \frac{x^2(1+x)}{11a^2} \cdot \frac{a^3}{4(1+x)}$

Сократим общие множители $(1+x)$ и $a^2$:

$\frac{x^2\cancel{(1+x)}}{11\cancel{a^2}} \cdot \frac{a^{\cancel{3}}}{4\cancel{(1+x)}} = \frac{x^2 \cdot a}{11 \cdot 4} = \frac{ax^2}{44}$

Ответ: $\frac{ax^2}{44}$

г) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби.

$\frac{6ax}{m^2-2m} : \frac{8ax}{3m-6} = \frac{6ax}{m(m-2)} \cdot \frac{3(m-2)}{8ax}$

Сократим общие множители $ax$, $(m-2)$, а также числовые коэффициенты $6$ и $8$ на $2$:

$\frac{\cancel{6}^3 \cancel{ax}}{m\cancel{(m-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(m-2)}}{\cancel{8}^4 \cancel{ax}} = \frac{3 \cdot 3}{m \cdot 4} = \frac{9}{4m}$

Ответ: $\frac{9}{4m}$

д) Представим выражение в скобках в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй.

$\frac{a^2-3ab}{3b} : (7a-21b) = \frac{a(a-3b)}{3b} \cdot \frac{1}{7(a-3b)}$

Сократим общий множитель $(a-3b)$:

$\frac{a\cancel{(a-3b)}}{3b} \cdot \frac{1}{7\cancel{(a-3b)}} = \frac{a}{3b \cdot 7} = \frac{a}{21b}$

Ответ: $\frac{a}{21b}$

е) Представим первое выражение в виде дроби. Заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим на множители числитель первой дроби (как разность квадратов) и знаменатель второй дроби.

$(x^2-4y^2) : \frac{5x-10y}{x} = \frac{(x-2y)(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5(x-2y)}$

Сократим общий множитель $(x-2y)$:

$\frac{\cancel{(x-2y)}(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5\cancel{(x-2y)}} = \frac{x(x+2y)}{5}$

Ответ: $\frac{x(x+2y)}{5}$

ж) Заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим на множители знаменатель второй дроби.

$(2a-b)^2 : \frac{4a^3-ab^2}{3} = \frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(4a^2-b^2)}$

Знаменатель $a(4a^2-b^2)$ можно разложить дальше как разность квадратов: $a(2a-b)(2a+b)$.

$\frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(2a-b)(2a+b)}$

Сократим общий множитель $(2a-b)$:

$\frac{(2a-b)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{3}{a\cancel{(2a-b)}(2a+b)} = \frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

Ответ: $\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

з) Представим первое выражение в виде дроби и заменим деление умножением. Разложим на множители числитель первой дроби.

$(10m-15n) : \frac{(2m-3n)^2}{2m} = \frac{5(2m-3n)}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^2}$

Сократим общий множитель $(2m-3n)$:

$\frac{5\cancel{(2m-3n)}}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot 2m}{2m-3n} = \frac{10m}{2m-3n}$

Ответ: $\frac{10m}{2m-3n}$