Номер 137, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 137, страница 36.

137. Представьте в виде дроби:

a) 3x²5y³ : 9x³2y² ∙ 5y3x;

б) 7p⁴10q³ ∙ 5q14p² : 3p4q⁴

a) $\frac{3x^2}{5y^3}:\frac{9x^3}{2y^2}·\frac{5y}{3x}=\frac{3x^2·2y^2·5y}{5y^3·9x^3·3x}=\frac{x·2}{9x^3}=\frac{2}{9x^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{7p^4}{10q^3}·\frac{5q}{14p^2}:\frac{3p}{4q^4}=\frac{7p^4·5q·4q^4}{10q^3·14p^2·3p}= \\ =\frac{7·5·4p^4{q}^5}{10·14·3p^3{q}^3}=\frac{4p{q}^2}{2·2·3}=\frac{4p{q}^2}{12}=\frac{p{q}^2}{3} \end{gathered}$$

а) $ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3x} $

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия с дробями по порядку. Сначала выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь, а затем умножение.

1. Заменяем деление на умножение:

$ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} = \frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3} $

2. Теперь все выражение представляет собой произведение трех дробей:

$ (\frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3}) \cdot \frac{5y}{3x} = \frac{3x^2 \cdot 2y^2 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 9x^3 \cdot 3x} $

3. Умножим коэффициенты и сложим степени переменных в числителе и знаменателе:

$ \frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot y^{2+1}}{(5 \cdot 9 \cdot 3) \cdot x^{3+1} \cdot y^3} = \frac{30x^2y^3}{135x^4y^3} $

4. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты $ \frac{30}{135} $ сокращаются на 15, что дает $ \frac{2}{9} $. Переменные $y$ ($ \frac{y^3}{y^3} $) сокращаются полностью. Для переменных $x$ имеем $ \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^{4-2}} = \frac{1}{x^2} $.

5. Собираем все части вместе:

$ \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{2}{9x^2} $

Ответ: $ \frac{2}{9x^2} $

б) $ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4} $

Выполним действия по порядку. Сначала умножение, затем деление. Деление заменим умножением на обратную дробь.

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} \cdot \frac{4q^4}{3p} $

2. Перемножим все числители и все знаменатели:

$ \frac{7p^4 \cdot 5q \cdot 4q^4}{10q^3 \cdot 14p^2 \cdot 3p} = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 4) \cdot p^4 \cdot q^{1+4}}{(10 \cdot 14 \cdot 3) \cdot p^{2+1} \cdot q^3} = \frac{140 p^4 q^5}{420 p^3 q^3} $

3. Теперь сократим полученную дробь. Коэффициенты $ \frac{140}{420} $ сокращаются до $ \frac{1}{3} $. Для переменных $p$ имеем $ \frac{p^4}{p^3} = p^{4-3} = p $. Для переменных $q$ имеем $ \frac{q^5}{q^3} = q^{5-3} = q^2 $.

4. Объединим полученные результаты:

$ \frac{1 \cdot p \cdot q^2}{3} = \frac{pq^2}{3} $

Ответ: $ \frac{pq^2}{3} $