Номер 144, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 144, страница 37.

144. Выполните действие:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2+ax+x^2}{x-1}:\frac{a^3-x^3}{x^2-1}= \\ =\frac{(a^2+ax+x^2)·(x^2-1)}{(x-1)·(a^3-x^3)}= \\ =\frac{(a^2+ax+x^2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(a-x)(a^2+ax+x^2)}=\frac{x+1}{a-x} \end{gathered}$$

б) $\frac{a{p}^2-9a}{p^3-8}:\frac{p+3}{2p-4}=\frac{a(p^2-9)·2(p-2)}{(p^3-8)(p+3)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(p-3)(p+3)·2(p-2)}{(p-2)(p^2+2p+4)(p+3)}=\frac{2a(p-3)}{p^2+2p+4}= \\ =\frac{2ap-6a}{p^2+2p+4} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. В данном случае операция деления обозначена знаком ":".

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3} $

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель дробей, где это возможно. Мы будем использовать формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Знаменатель второй дроби: $ a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2) $.

Числитель второй дроби: $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

Подставим полученные разложения в исходное выражение и сократим общие множители:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{\cancel{a^2 + ax + x^2}}{\cancel{x - 1}} \cdot \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{(a - x)\cancel{(a^2 + ax + x^2)}} = \frac{x + 1}{a - x} $

Ответ: $ \frac{x + 1}{a - x} $

б) Выполним аналогичные действия для второго выражения. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

$ \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{2p - 4}{p + 3} $

Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: вынесем общий множитель $a$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов.
$ ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3) $

Знаменатель первой дроби: используем формулу разности кубов.
$ p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4) $

Числитель второй дроби: вынесем общий множитель 2 за скобки.
$ 2p - 4 = 2(p - 2) $

Подставим разложенные многочлены в выражение и сократим дроби:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2(p - 2)}{p + 3} = \frac{a(p - 3)\cancel{(p + 3)}}{\cancel{(p - 2)}(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2\cancel{(p - 2)}}{\cancel{p + 3}} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $

Выражение $p^2 + 2p + 4$ является неполным квадратом суммы и на дальнейшие множители (в действительных числах) не раскладывается.

Ответ: $ \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $