Номер 146, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 146, страница 37.

146. Выполните действия:

a) $\frac{2b}{2b+3}-\frac{5}{3-2b}-\frac{a{b}^2+9}{4b^2-9}=$
$$\begin{gathered} =\frac{2b}{2b+3}+\frac{5}{2b-3}-\frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}= \\ =\frac{2b(2b-3)+5(2b+3)-4b^2-9}{(2b-3)(2b+3)}= \\ =\frac{4b^2-6b+10b+15-4b^2-9}{(2b-3)(2b+3)}= \\ =\frac{4b+6}{(2b-3)(2b+3)}=\frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)}=\frac{2}{2b-3} \end{gathered}$$

б) $\frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2}+\frac{2b}{a^2+2ab}-\frac{b}{ac-3a^2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{c+6b}{(ac+2bc)-(6ab+3a^2)}+ \\ +\frac{2b}{a(a+2b)}-\frac{b}{a(c-3a)}= \\ =\frac{c+6b}{c(a+2b)-3a(2b+a)}+\frac{2b}{a(a+2b)}- \\ -\frac{b}{a(c-3a)}=\frac{(c+6b)a}{a(a+2b)(c-3a)}+ \\ +\frac{2b(c-3a)}{a(a+2b)(c-3a)}-\frac{b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}= \\ =\frac{ac+6ab+2bc-6ab-ab-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}= \\ =\frac{ac-ab+2bc-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}=\frac{a(c-b)+2b(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}= \\ =\frac{(a+2b)(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}=\frac{c-b}{a(c-3a)}=\frac{c-b}{ac-3a^2} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы выполнить действия с дробями $\frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{3-2b} - \frac{4b^2+9}{4b^2-9}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели. В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки, что изменит знак перед дробью: $\frac{5}{3-2b} = \frac{5}{-(2b-3)} = -\frac{5}{2b-3}$. Знаменатель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4b^2-9 = (2b)^2 - 3^2 = (2b-3)(2b+3)$. После преобразований выражение примет вид: $\frac{2b}{2b+3} + \frac{5}{2b-3} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$. Общим знаменателем является произведение $(2b-3)(2b+3)$. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{2b(2b-3)}{(2b+3)(2b-3)} + \frac{5(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$. Теперь объединим числители под общим знаменателем: $\frac{2b(2b-3) + 5(2b+3) - (4b^2+9)}{(2b-3)(2b+3)}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{4b^2 - 6b + 10b + 15 - 4b^2 - 9}{(2b-3)(2b+3)}$. Приведем подобные слагаемые: $\frac{(4b^2 - 4b^2) + (-6b + 10b) + (15 - 9)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{4b+6}{(2b-3)(2b+3)}$. В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $4b+6 = 2(2b+3)$. Получаем дробь $\frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)}$. Сократим дробь на общий множитель $(2b+3)$.
Ответ: $\frac{2}{2b-3}$.

б) Упростим выражение $\frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2} + \frac{2b}{a^2+2ab} - \frac{b}{ac-3a^2}$. Сначала разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель (методом группировки): $ac+2bc-6ab-3a^2 = c(a+2b) - 3a(2b+a) = (a+2b)(c-3a)$. Второй знаменатель: $a^2+2ab = a(a+2b)$. Третий знаменатель: $ac-3a^2 = a(c-3a)$. Общий знаменатель для дробей — $a(a+2b)(c-3a)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{a(c+6b)}{a(a+2b)(c-3a)} + \frac{2b(c-3a)}{a(a+2b)(c-3a)} - \frac{b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$. Объединим в одну дробь: $\frac{a(c+6b) + 2b(c-3a) - b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{ac+6ab+2bc-6ab-ab-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$. Приведем подобные слагаемые: $\frac{ac+2bc-ab-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$. Разложим числитель на множители методом группировки: $ac+2bc-ab-2b^2 = c(a+2b) - b(a+2b) = (a+2b)(c-b)$. Дробь примет вид: $\frac{(a+2b)(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}$. Сократив на $(a+2b)$, получим итоговое выражение.
Ответ: $\frac{c-b}{a(c-3a)}$.