Номер 157, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 157, страница 42.

157. Упростите выражение:

a) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)=2x^2+2xy$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}=\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{1}{(y-x)(y+x)}+\frac{1}{{(x+y)}^2}\frac{x+y+y-x}{(y-x){(x+y)}^2}= \\ =\frac{2y}{(y-x){(x+y)}^2} \\ 2) \frac{4xy}{y^2-x^2}:\frac{2y}{(y-x){(x+y)}^2}=\frac{4xy·(y-x){(x+y)}^2}{(y-x)(y+x)·2y}= \\ =2x(x+y)=2x^2+2xy \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{{(2y-x)}^2}\right)·\frac{{(x+2y)}^2}{4y^2}=\frac{x-2y}{2xy}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{{(2y-x)}^2}=\frac{1·{(x-2y)}^2}{(x-2y)(x+2y)(x+2y)}= \\ =\frac{x-2y}{{(x+2y)}^2} \\ 2) \frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{x-2y}{{(x+2y)}^2}=\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{{(x+2y)}^2}= \\ =\frac{(x-2y)(x+2y)-x(x-2y)}{x{(x+2y)}^2}= \\ =\frac{x^2-4y^2-x^2+2xy}{x{(x+2y)}^2}=\frac{-4y^2+2xy}{x{(x+2y)}^2}=\frac{2y(x-2y)}{x{(x+2y)}^2} \\ 3) \frac{2y(x-2y)}{x{(x+2y)}^2}·\frac{{(x+2y)}^2}{4y^2}=\frac{2y(x-2y)}{4x{y}^2}=\frac{x-2y}{2xy} \end{gathered}$$

а)

Рассмотрим выражение $ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : (\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}) $.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и квадрат суммы $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.
$ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) $
$ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 $

Теперь выражение в скобках имеет вид: $ \frac{1}{(y - x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^2} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю $ (y - x)(y + x)^2 $:
$ \frac{1 \cdot (y + x)}{(y - x)(y + x)^2} + \frac{1 \cdot (y - x)}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{(y + x) + (y - x)}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2} $

3. Теперь выполним деление. Заменим делитель на результат, полученный в шаге 2.
$ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} \cdot \frac{(y - x)(y + x)^2}{2y} $

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $ (y-x) $, $ (y+x) $ и $ 2y $.
$ \frac{2x \cdot \cancel{4xy}}{\cancel{(y-x)}\cancel{(y+x)}} \cdot \frac{\cancel{(y-x)}(y+x)^{\cancel{2}}}{\cancel{2y}} = 2x(y+x) $

Ответ: $2x(y+x)$

б)

Рассмотрим выражение $ (\frac{x - 2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} \cdot \frac{x + 2y}{(2y - x)^2}) \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2} $.

Примечание: В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Для получения упрощенного ответа, что обычно предполагается в таких заданиях, знак умножения внутри скобок следует рассматривать как знак деления. Ниже приведено решение для этого случая.

1. Упростим выражение в скобках, заменив умножение на деление: $ \frac{x - 2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2} $.
Сначала выполним деление. Разложим знаменатели на множители:
$ x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y) $
$ (2y - x)^2 = (-(x - 2y))^2 = (x - 2y)^2 $
$ \frac{1}{(x - 2y)(x + 2y)} : \frac{x + 2y}{(x - 2y)^2} = \frac{1}{(x - 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{(x - 2y)^2}{x + 2y} = \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2} $

2. Теперь выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатель первой дроби $ x^2 + 2xy = x(x+2y) $.
$ \frac{x - 2y}{x(x + 2y)} - \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2} $
Вынесем общий множитель $ (x - 2y) $ за скобки:
$ (x - 2y) \left( \frac{1}{x(x + 2y)} - \frac{1}{(x + 2y)^2} \right) $
Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю $ x(x + 2y)^2 $:
$ (x - 2y) \left( \frac{x + 2y - x}{x(x + 2y)^2} \right) = (x - 2y) \cdot \frac{2y}{x(x + 2y)^2} = \frac{2y(x - 2y)}{x(x + 2y)^2} $

3. Умножим полученный результат на выражение за скобками:
$ \frac{2y(x - 2y)}{x(x + 2y)^2} \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2} $
Сократим общие множители $ (x+2y)^2 $ и $ 2y $:
$ \frac{\cancel{2y}(x - 2y)}{x \cdot \cancel{(x+2y)^2}} \cdot \frac{\cancel{(x+2y)^2}}{\cancel{4y^2} \cdot 2y} = \frac{x - 2y}{2xy} $

Ответ: $\frac{x-2y}{2xy}$